Encontre a solucão geral, e esboce o retrato de fase, dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
X^prime=[rr5 & 3 -3 & 1] X.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral e o retrato de fase do sistema linear
X' = A,X,
onde
A = 5 & 3[6pt]-3 & 1
Vamos usar o método de autovalores e autovetores: primeiro obtemos o polinômio característico de A, depois os autovalores (possivelmente complexos), em seguida um autovetor associado e, por fim, construímos a solução real usando a parte real e imaginária da solução complexa. Depois classificamos o ponto de equilíbrio em 0 e descrevemos qualitativamente o retrato de fase.]

Passo 2

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) =det5-lambda & 3[4pt]-3 & 1-lambda =(5-lambda)(1-lambda)+9 =lambda^2-6lambda+14
As raízes são
lambda = 6pmraiz36-562 =3pm iraiz5
Portanto temos um par de autovalores complexos conjugados com parte real positiva ( 3).]

Passo 3

Para lambda = 3+iraiz5 resolvemos (A-lambda I)v=0.
Isso dá o sistema
(2 - iraiz5)v1 +3v2 = 0, -3v1 +(-2 - iraiz5)v2 = 0
Escolhendo v1=3, obtemos
v2 = -2 - iraiz53,3 = -2 + iraiz5
Logo um autovetor é
v = 3[4pt]-2 + iraiz5 = a + i,b,
once
a=3[4pt]-2, b=0[4pt]raiz5 ]

Passo 4

A solução geral complexa é
X(t) = C,e^(3+iraiz5)t,v
Separando em parte real e imaginária, a solução real geral fica
X(t)=e^3tl[ c1l(acos(raiz5t)-bsin(raiz5t)r) + c2l(asin(raiz5t)+bcos(raiz5t)r) r],
com c1,c2inR. Explicitando as componentes:
X(t)=e^3t 3l(c1cos(raiz5t)+c2sin(raiz5t)r)[6pt] -2l(c1cos(raiz5t)+c2sin(raiz5t)r) +raiz5l(-c1sin(raiz5t)+c2cos(raiz5t)r) ]

Passo 5

Como Re(lambda)=3>0, a origem é um foco instável (espiral afastando-se). Para determinar a orientação, note que em t=0 o vetor inicial X(0)=(1,0) evolui segundo
X'(0)=A1[2pt]0 =5[2pt]-3,
ou seja, aponta para baixo e à direita, o que corresponde a movimento no sentido horário.]

Resposta

A solução geral é
X(t)=e^3tl[ c1l(acos(raiz5t)-bsin(raiz5t)r) + c2l(asin(raiz5t)+bcos(raiz5t)r) r],
onde
a=3[4pt]-2, b=0[4pt]raiz5, c1,c2inR
O retrato de fase mostra um foco instável (espiral afastando-se) e as trajetórias giram em sentido horário.]

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