Consideremos o
com as seguintes operações:
.
Mostre que o
, com estas operações, não é um espaço vetorial sobre
.
Mostre que o
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação por escalar não usual
Queremos ver se todas as propriedades de espaço vetorial sobre
são satisfeitas; basta encontrar uma que falhe para concluir que não é um espaço vetorial.
Passo 2
Recordando um dos axiomas de espaço vetorial: para todo vetor
deve valer
onde
é o escalar zero e
é o vetor zero do espaço. Aqui
.
Passo 3
Vamos testar esse axioma com um vetor qualquer cujo segundo componente seja não nulo, por exemplo
. Então
Por outro lado, o vetor zero em
é
Como
, fica claro que
Passo 4
O fato de
não coincidir com o vetor zero viola diretamente um dos axiomas de espaço vetorial. Logo, essa estrutura em
não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
, com a soma usual e a multiplicação por escalar
, não é um espaço vetorial sobre
porque falha o axioma
.