Consideremos o R^2 com as seguintes operações:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2), forall(x1, y1),(x2, y2) in R^2 ;
alpha(x, y)=(alpha x, y), forall alpha in R, forall(x, y) in R^2.
Mostre que o R^2, com estas operações, não é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a soma usual
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar não usual
alpha,(x,y) = (alpha x,;y)
Queremos ver se todas as propriedades de espaço vetorial sobre R são satisfeitas; basta encontrar uma que falhe para concluir que não é um espaço vetorial.

Passo 2

Recordando um dos axiomas de espaço vetorial: para todo vetor vin V deve valer
0Rcdot v = 0V,
onde 0R é o escalar zero e 0V é o vetor zero do espaço. Aqui 0V=(0,0).

Passo 3

Vamos testar esse axioma com um vetor qualquer cujo segundo componente seja não nulo, por exemplo v=(0,1). Então
0Rcdot(0,1) = (0cdot 0,;1) = (0,;1)
Por outro lado, o vetor zero em R^2 é
0V = (0,0)
Como (0,1)neq(0,0), fica claro que
0Rcdot v neq 0V

Passo 4

O fato de 0Rcdot v não coincidir com o vetor zero viola diretamente um dos axiomas de espaço vetorial. Logo, essa estrutura em R^2 não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto R^2, com a soma usual e a multiplicação por escalar alpha(x,y)=(alpha x,y), não é um espaço vetorial sobre R porque falha o axioma 0Rcdot v = 0V.

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