Consideremos os seguintes subespaços de R^4 :
U=lang<=(1,0,1,0),(0,1,0,0)rang<= e V=(x1, x2, x3, x4): x1+x2=0
Determine dimR(U cap V) e dimR(U+V).

Passo 1

O enunciado trabalha em R^4 e define
U=lang<=(1,0,1,0),(0,1,0,0)rang<= e
V=(x1,x2,x3,x4)mid x1+x2=0.
Queremos encontrar dimR(Ucap V) e dimR(U+V). Para isso usaremos conceitos de dimensão de subespaços e a fórmula
dim(U+V)+dim(Ucap V)=dim U+dim V

Passo 2

Vamos achar primeiro dim U e dim V.
Como U é gerado por dois vetores que são claramente LI, tem-se
dim U = 2
V é definido por uma única equação linear independente em R^4, logo é um hiperplano de dimensão
dim V = 4 - 1 = 3

Passo 3

Para achar Ucap V, tomamos um vetor genérico de U:
v = alpha,(1,0,1,0) + beta,(0,1,0,0) = (alpha,beta,alpha,0)
Impondo a condição de pertencer a V, ou seja alpha+beta=0, obtemos beta=-alpha. Assim
v = alpha,(1,-1,1,0),
mostrando que todo vetor de Ucap V é múltiplo de (1,-1,1,0).

Passo 4

Como Ucap V é gerado por um único vetor não-nulo, concluímos
dim(Ucap V) = 1

Passo 5

Usando a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
dim(U+V) = dim U + dim V - dim(Ucap V) = 2 + 3 - 1 = 4
Isso faz sentido porque U+VsubseteqR^4 e não ultrapassa dimensão 4.

Resposta

dimR(Ucap V)=1
dimR(U+V)=4

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