Mostre que o espaço solução do sistema linear homogêneo A X=0m times 1, onde A in Mm times n(K) e X in Mn times 1 é um K-espaço vetorial.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo dado por A X = 0m times 1 , onde A é uma matriz de dimensão m times n sobre um campo K , e X é um vetor coluna de dimensão n times 1 . O objetivo é mostrar que o conjunto de todas as soluções desse sistema forma um espaço vetorial sobre K .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo K é um conjunto de vetores onde podemos realizar duas operações básicas: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (elementos de K ). Além disso, esse conjunto deve satisfazer certas propriedades, como comutatividade da adição, existência de um elemento neutro (vetor zero), existência de inversos aditivos, distributividade, entre outras.
No nosso caso, queremos mostrar que o conjunto de soluções do sistema A X = 0 satisfaz essas propriedades, ou seja, é fechado para adição e multiplicação por escalares, e contém o vetor zero.

Passo 3

Vamos começar verificando se o vetor zero está no conjunto de soluções. Substituindo X = 0 na equação A X = 0 :
A cdot 0 = 0
Isso é sempre verdadeiro, pois qualquer matriz multiplicada pelo vetor zero resulta no vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto de soluções é fechado para a adição. Suponha que temos dois vetores X1 e X2 que são soluções do sistema, ou seja, A X1 = 0 e A X2 = 0 . Queremos mostrar que X1 + X2 também é uma solução.
Calculando A (X1 + X2) :
A (X1 + X2) = A X1 + A X2 = 0 + 0 = 0
Portanto, X1 + X2 também satisfaz a equação A X = 0 , mostrando que o conjunto é fechado para adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a fechadura para a multiplicação por escalares. Seja c in K e X uma solução do sistema, ou seja, A X = 0 . Queremos mostrar que c X também é uma solução.
Calculando A (c X) :
A (c X) = c (A X) = c cdot 0 = 0
Assim, c X também satisfaz a equação A X = 0 , confirmando que o conjunto é fechado para multiplicação por escalares.

Passo 6

Além disso, como estamos trabalhando no espaço K^n , que já é um espaço vetorial, as demais propriedades (como associatividade, distributividade, existência de inversos aditivos, etc.) já são garantidas.

Resposta

Portanto, o conjunto de soluções do sistema linear homogêneo A X = 0 é de fato um espaço vetorial sobre K .

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