Dado o corpo K, o espaço K^3 é soma direta dos subespaços:
U=(x, 0,0): x in K e W=(0, y, z): y, z in K

Passo 1

O enunciado nos dá os subespaços de K^3
U = (x,0,0)mid xinK, W = (0,y,z)mid y,zinK
Queremos mostrar que
K^3 ;=; Uoplus W,
isto é, que U+W=K^3 e Ucap W=(0,0,0).

Passo 2

Mostramos que U+W=K^3. Seja (a,b,c) um vetor qualquer de K^3. Então podemos escrevê-lo como
(a,b,c) ;=;(a,0,0);+;(0,b,c),
onde claramente (a,0,0)in U e (0,b,c)in W. Assim todo vetor de K^3 é soma de um vetor em U e outro em W, logo U+W=K^3.

Passo 3

Mostramos que Ucap W=(0,0,0). Seja vin Ucap W. Então
v=(x,0,0)e v=(0,y,z)
Comparando coordenadas obtemos x=0, y=0 e z=0. Portanto v=(0,0,0) e Ucap W=(0,0,0).

Resposta

K^3 = U oplus W

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