Consideremos o subespaço vetorial de M3(R) constituído das matrizes simétricas. Determinar uma base desse subespaço.

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço de todas as matrizes simétricas em M3(R). Lembrando que uma matriz A=(aij) é simétrica se e só se A^T=A, i.e.\ aij=aji. Em dimensão 3, isso impõe tfrac3cdot42=6 entradas livres, logo o subespaço tem dimensão 6 e precisamos encontrar 6 matrizes linearmente independentes que o gerem.

Passo 2

Para expor as condições de simetria, escrevemos a forma geral de uma matriz simétrica Ain M3(R):
A= a & b & c b & d & e c & e & f ,
onde a,b,c,d,e,finR são os graus de liberdade.

Passo 3

Cada um dos parâmetros a,b,c,d,e,f pode ser isolado em uma matriz que tenha 1 naquela posição e zeros nas outras, de modo a formar uma base. Precisamos, portanto, das matrizes que correspondem a colocar 1 em cada uma dessas seis posições livres.

Passo 4

Definimos as seis matrizes seguintes em M3(R):
E1=1&0&00&0&00&0&0, E2=0&1&01&0&00&0&0, E3=0&0&10&0&01&0&0,
E4=0&0&00&1&00&0&0, E5=0&0&00&0&10&1&0, E6=0&0&00&0&00&0&1
Essas matrizes são simétricas, são linearmente independentes e qualquer matriz simétrica é combinação linear delas.

Resposta

Uma base do subespaço das matrizes simétricas em M3(R) é
1&0&00&0&00&0&0, 0&1&01&0&00&0&0, 0&0&10&0&01&0&0, 0&0&00&1&00&0&0, 0&0&00&0&10&1&0, 0&0&00&0&00&0&1

Exercícios relacionados