O problema pede para determinar a posição relativa das retas (r) e (s) em R^3. Precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes, concorrentes (se encontram em um ponto) ou reversas (nem paralelas nem concorrentes). Para isso, vamos:
Extrair vetores diretores e pontos de cada reta.
Testar dependência linear dos vetores diretores (para paralelismo).
Verificar se existe solução comum nos parâmetros (para interseção).
Passo 2
Escrevemos cada reta em forma vetorial.
Para (r):
x=-1+3t, y=3-t, z=2+2t
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r(t) = (-1,3,2) + t,(3,-1,2)
Dá-se A=(-1,3,2) e vr=(3,-1,2).
Para (s): escrevemos
x-2 = u, y-4 = -2u, z-1 = 3u
ou seja
s(u) = (2,4,1) + u,(1,-2,3)
Dá-se B=(2,4,1) e vs=(1,-2,3).
Passo 3
Testamos se há lambda tal que
(3,-1,2)=lambda,(1,-2,3)
Da primeira componente vem lambda=3, mas então a segunda daria -1=3cdot(-2)=-6, contradição. Logo vr e vs não são proporcionais, ou seja, as retas não são paralelas.
Passo 4
Procuramos t e u tais que r(t)=s(u), isto é,
-1+3t = 2+u, 3-t = 4-2u, 2+2t = 1+3u
Equivalente ao sistema
3t - u = 3, t - 2u = -1, 2t - 3u = -1
Das duas primeiras equações obtemos t=7/5 e u=6/5. Substituindo na terceira:
2cdot75-3cdot65 = 14-185 = -45neq -1,
ou seja, há contradição e não existe ponto comum.
Resposta
As retas são reversas (nem paralelas nem concorrentes).