Sejam [I]beta^alpha=(ll1 & -2 0 & -3) e beta=(1,-2),(2,0) uma base do R^2. Determinar a base alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de coordenadas do operador identidade de beta para alpha:
[I]beta^alpha = 1 & -2 0 & -3 ,
onde beta=b1,b2 com b1=(1,-2) e b2=(2,0). Sabemos que a coluna j dessa matriz são as coordenadas de bj na base alpha=alpha1,alpha2. Nosso objetivo é encontrar alpha1 e alpha2.

Passo 2

Da primeira coluna 10 temos
b1=1cdotalpha1+0cdotalpha2=alpha1
Como b1=(1,-2), segue que
alpha1=(1,-2)

Passo 3

Da segunda coluna -2-3 temos
b2=-2,alpha1-3,alpha2
Substituindo b2=(2,0) e alpha1=(1,-2),
(2,0)=-2,(1,-2)-3,alpha2=(-2,4)-3,alpha2
Isolando alpha2:
-3,alpha2=(2,0)-(-2,4)=(4,-4) Longrightarrow alpha2=l(-tfrac43,tfrac43r)

Resposta

alpha=l(1,-2),,(-tfrac43,tfrac43)r

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