Verificar se o conjunto dos vetores em R^4 abaixo é linearmente independente:
(2,1,1,0),(1,0,1,2),(0,-1,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
;v1=(2,1,1,0),;v2=(1,0,1,2),;v3=(0,-1,1,2)\n
em R^4 são linearmente independentes.
Para isso, precisamos ver se a combinação linear homogênea
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = (0,0,0,0)
implica alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação
alpha(2,1,1,0) + beta(1,0,1,2) + gamma(0,-1,1,2) = (0,0,0,0)

Passo 3

Extraímos as equações coordenada a coordenada:
2alpha + beta + 0gamma = 0,
alpha + 0beta - gamma = 0,
alpha + beta + gamma = 0,
0alpha + 2beta + 2gamma = 0

Passo 4

Da segunda equação segue
gamma = alpha
Da quarta equação obtemos
2beta + 2gamma = 0 Longrightarrow beta + gamma = 0 Longrightarrow beta = -gamma = -alpha
Substituindo em 2alpha + beta = 0 (primeira equação):
2alpha - alpha = alpha = 0
Logo alpha=0, e então beta=0, gamma=0 é a única solução.

Passo 5

Como a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (2,1,1,0),(1,0,1,2),(0,-1,1,2) é linearmente independente.

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