Consideremos a transformação linear T: R^3 R^3, definida por
T(x, y, z)=(x-z, x+y-2 z, y-z)
Determine os subespaços nuc(T), im(T), nuc(T) cap im(T) e nuc(T)+im(T).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x - z,; x + y - 2z,; y - z)
Queremos achar os subespaços nuc(T), im(T), nuc(T)capim(T) e nuc(T)+im(T). O conteúdo aqui é cálculo de núcleo (solução homogênea) e imagem (coluna de matriz), além de operações entre subespaços.

Passo 2

Para achar
Da primeira equação vem . Substituindo em obtém-se , que é trivial. Logo todo vetor da forma está no núcleo. Assim

Passo 3

Para im(T) note que a matriz de T na base canônica é
A = 1 & 0 & -1 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
As colunas são
c1=(1,1,0), c2=(0,1,1), c3=(-1,-2,-1). Observa-se
c3=-c1-c2, então
im(T) = Span(1,1,0),,(0,1,1),
com diml(im(T)r)=2. Equivalentemente, se (u,v,w)=T(x,y,z),
u - v + w = (x-z) - (x+y-2z) + (y-z)=0,
logo
im(T)=(u,v,w)inR^3mid u - v + w = 0

Passo 4

O núcleo é a reta Span(1,1,1). Para ver nuc(T)capim(T) basta checar se (1,1,1) satisfaz u-v+w=0. Temos
1 - 1 + 1 = 1 neq 0,
logo nenhum múltiplo não nulo de (1,1,1) está na imagem. Assim
nuc(T)capim(T)=0

Passo 5

Como dim(nuc(T))=1, dim(im(T))=2 e a interseção tem dimensão 0, segue
diml(nuc(T)+im(T)r) =1+2-0=3
Num espaço de dimensão 3, qualquer subespaço de dimensão 3 é todo R^3. Portanto
nuc(T)+im(T)=R^3

Resposta

nuc(T)=Span(1,1,1),
im(T)=Span(1,1,0),,(0,1,1),
nuc(T)capim(T)=0,
nuc(T)+im(T)=R^3

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