Consideremos a transformação linear , definida por
Determine os subespaços e .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos achar os subespaços , , e . O conteúdo aqui é cálculo de núcleo (solução homogênea) e imagem (coluna de matriz), além de operações entre subespaços.
Passo 2
Para achar
Da primeira equação vem . Substituindo em obtém-se , que é trivial. Logo todo vetor da forma está no núcleo. Assim
Passo 3
Para note que a matriz de na base canônica é
As colunas são c1=(1,1,0), c2=(0,1,1), c3=(-1,-2,-1). Observa-se c3=-c1-c2, então
im(T) = Span(1,1,0),,(0,1,1),
com diml(im(T)r)=2. Equivalentemente, se (u,v,w)=T(x,y,z),
u - v + w = (x-z) - (x+y-2z) + (y-z)=0,
logo
im(T)=(u,v,w)inR^3mid u - v + w = 0
Passo 4
O núcleo é a reta Span(1,1,1). Para ver nuc(T)capim(T) basta checar se (1,1,1) satisfaz u-v+w=0. Temos
1 - 1 + 1 = 1 neq 0,
logo nenhum múltiplo não nulo de (1,1,1) está na imagem. Assim
nuc(T)capim(T)=0
Passo 5
Como dim(nuc(T))=1, dim(im(T))=2 e a interseção tem dimensão 0, segue
diml(nuc(T)+im(T)r) =1+2-0=3
Num espaço de dimensão 3, qualquer subespaço de dimensão 3 é todo R^3. Portanto