Seja T: R^2 R^2 a transformação linear tal que
T(1,1)=(-1,2) e T(-1,1)=(2,-4)
Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
nuc(T), im(T), nuc(T) cap im(T) e nuc(T)+im(T)

Passo 1

O enunciado pede para achar bases e dimensões de quatro subespaços associados à transformação linear T:R^2toR^2 dada por
T(1,1)=(-1,2), T(-1,1)=(2,-4)
O que precisamos é:
– encontrar ker(T) resolvendo T(x,y)=0,
– encontrar im(T) como o span das imagens dos geradores,
– tirar interseção e soma de subespaços usando dimensões e checando colinearidade.

Passo 2

Primeiro expressamos T na base canônica. Como (1,1) e (-1,1) formam base de R^2, escrevemos
(x,y)=a(1,1)+b(-1,1) Longrightarrow a=x+y2,;b=y-x2
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T(x,y) =a,T(1,1)+b,T(-1,1) =a(-1,2)+b(2,-4)
Calculando as componentes:
T(x,y) =l(-a+2b,;2a-4br) =l(tfrac-3x+y2,;3x-yr)

Passo 3

Para
Ambas dão a mesma condição .]

Passo 4

Como e vale o teorema , temos .
Também basta ver que, por exemplo,

Passo 5

A interseção é a interseção de duas retas em :
Como não é múltiplo escalar de , a única interseção é o vetor zero.
Assim

e .

Passo 6

A soma ker(T)+im(T) é um subespaço de dimensão
dim(ker(T)+im(T)) =dimker(T)+dimim(T)-dim(ker(T)capim(T)) =1+1-0=2
Como R^2 é de dimensão 2, segue que
ker(T)+im(T)=R^2
e uma base é (1,3),,(-1,2).

Resposta

Base e dimensão de cada subespaço:
: base , .
: base , .
: base (somente ), .
: base , .

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