Seja
a transformação linear tal que
Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
Passo 1
O enunciado pede para achar bases e dimensões de quatro subespaços associados à transformação linear
dada por
O que precisamos é:
– encontrar resolvendo
,
– encontrar como o span das imagens dos geradores,
– tirar interseção e soma de subespaços usando dimensões e checando colinearidade.
– encontrar
– encontrar
– tirar interseção e soma de subespaços usando dimensões e checando colinearidade.
Passo 2
Primeiro expressamos
na base canônica. Como
e
formam base de
, escrevemos
Logo
Calculando as componentes:
Passo 3
Para
Ambas dão a mesma condição .]
Passo 4
Como
e vale o teorema
, temos
.
Também basta ver que, por exemplo,
Também basta ver que, por exemplo,
Passo 5
A interseção
é a interseção de duas retas em
:
Como
não é múltiplo escalar de
, a única interseção é o vetor zero.
Assim
e .
Assim
e
Passo 6
A soma
é um subespaço de dimensão
Como
é de dimensão
, segue que
e uma base é
.
Resposta
Base e dimensão de cada subespaço:
: base
,
.
: base
,
.
: base
(somente
),
.
: base
,
.