Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
\mathrm{T}: \mathrm{M}(2,2) \longrightarrow \mathbb{R}, \quad \mathrm{T}\left(\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata T definida por
T: \mathrm{M}(2,2)\longrightarrow\mathbb{R},\qquad T\left(\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right].
A pergunta é: verificar se essa aplicação T é linear (ou seja, identificar se ela satisfaz as propriedades exigidas de uma aplicação linear).
As informações relevantes dadas são:
\mathrm{M}(2,2) é o espaço de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais; a regra de T é a determinação do determinante de uma matriz 2\times2; e o codomínio é \mathbb{R}.]

Passo 2

O que significa ser linear? Vou explicar com calma.
Uma aplicação T: V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para todo X,Y\in V e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. Aditividade:
T(X+Y)=T(X)+T(Y).
  1. Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Aqui V=\mathrm{M}(2,2). A soma X+Y é a soma elemento a elemento das matrizes e \lambda X é a multiplicação de cada entrada de X por \lambda. Vou testar ambas as propriedades para T.

Passo 3

Primeiro, escrevemos explicitamente o determinante de uma matriz 2\times2. Para
X=\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right]
temos a fórmula
\operatorname{det}(X)=ad-bc.
Note que essa expressão envolve produtos entre entradas ( ad e bc). Uma função linear em \mathrm{M}(2,2) vista como espaço vetorial teria de ser uma combinação linear das entradas a,b,c,d, isto é, algo do tipo \alpha a+\beta b+\gamma c+\delta d. Como \operatorname{det}(X) contém termos quadráticos (produtos de entradas), isso já dá uma forte suspeita de que T não é linear. Vamos tornar isso rigoroso com contraexemplos.]

Passo 4

Teste da aditividade com um contraexemplo numérico (passo a passo):
Escolho duas matrizes simples
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right].
Calculo os determinantes separadamente:
\operatorname{det}(A)=1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0,
\operatorname{det}(B)=0\cdot 1 - 0\cdot 0 = 0.
Agora somo as matrizes e calculo o determinante da soma:
A+B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right],
\operatorname{det}(A+B)=1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.
Compare:
T(A)+T(B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)=0+0=0,
T(A+B)=\operatorname{det}(A+B)=1.
Como T(A+B)\neq T(A)+T(B), a propriedade de aditividade falha. Portanto T não satisfaz a primeira condição de linearidade.]

Passo 5

Teste da homogeneidade com outro contraexemplo (passo a passo) e explicação geral:
Mostro primeiro uma propriedade geral para matrizes 2\times2: para todo escalar \lambda e toda matriz X\in\mathrm{M}(2,2),
\operatorname{det}(\lambda X)=\lambda^{2}\operatorname{det}(X).
Prova curta: se X=\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right] então
\lambda X=\left[\begin{array}{cc}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{array}\right]
e
\operatorname{det}(\lambda X)=(\lambda a)(\lambda d)-(\lambda b)(\lambda c)=\lambda^{2}(ad-bc)=\lambda^{2}\operatorname{det}(X).
Para linearidade seria preciso \operatorname{det}(\lambda X)=\lambda\operatorname{det}(X) para todo \lambda. Mas a identidade acima dá \operatorname{det}(\lambda X)=\lambda^{2}\operatorname{det}(X), que só coincide com \lambda\operatorname{det}(X) em casos especiais (por exemplo \operatorname{det}(X)=0 ou \lambda=0 ou \lambda=1) — em geral são diferentes.
Um contraexemplo numérico simples: tomo X=I=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right] e \lambda=2. Então
\operatorname{det}(\lambda X)=\operatorname{det}(2I)=4
pelo cálculo \operatorname{det}(2I)=2^{2}\operatorname{det}(I)=4. Mas
\lambda\operatorname{det}(X)=2\cdot 1=2.
Como 4\neq 2, a homogeneidade também falha.]

Passo 6

Conclusão pedagógica e síntese: a transformação T falha em ambas as propriedades exigidas para linearidade — não preserva soma (exemplo em

Resposta

T não é linear.

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