Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
definida por
A pergunta é: verificar se essa aplicação
é linear (ou seja, identificar se ela satisfaz as propriedades exigidas de uma aplicação linear).
As informações relevantes dadas são:
é o espaço de todas as matrizes
com entradas reais; a regra de
é a determinação do determinante de uma matriz
; e o codomínio é
.]
Passo 2
O que significa ser linear? Vou explicar com calma.
Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todo
e todo escalar
, valem as duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
Aqui
. A soma
é a soma elemento a elemento das matrizes e
é a multiplicação de cada entrada de
por
. Vou testar ambas as propriedades para
.
Passo 3
Primeiro, escrevemos explicitamente o determinante de uma matriz
. Para
temos a fórmula
Note que essa expressão envolve produtos entre entradas (
e
). Uma função linear em
vista como espaço vetorial teria de ser uma combinação linear das entradas
, isto é, algo do tipo
. Como
contém termos quadráticos (produtos de entradas), isso já dá uma forte suspeita de que
não é linear. Vamos tornar isso rigoroso com contraexemplos.]
Passo 4
Teste da aditividade com um contraexemplo numérico (passo a passo):
Escolho duas matrizes simples
Calculo os determinantes separadamente:
Agora somo as matrizes e calculo o determinante da soma:
Compare:
Como
, a propriedade de aditividade falha. Portanto
não satisfaz a primeira condição de linearidade.]
Passo 5
Teste da homogeneidade com outro contraexemplo (passo a passo) e explicação geral:
Mostro primeiro uma propriedade geral para matrizes
: para todo escalar
e toda matriz
,
Prova curta: se
então
e
Para linearidade seria preciso
para todo
. Mas a identidade acima dá
, que só coincide com
em casos especiais (por exemplo
ou
ou
) — em geral são diferentes.
Um contraexemplo numérico simples: tomo
e
. Então
pelo cálculo
. Mas
Como
, a homogeneidade também falha.]
Passo 6
Conclusão pedagógica e síntese: a transformação
falha em ambas as propriedades exigidas para linearidade — não preserva soma (exemplo em