Consideremos a transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)= (2 x+y-z, x+2 y) e as bases A=(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1) do R^3 e B=(-1,1),(0,1) do R^2. Determinar a matriz [T]A^B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo é encontrar a matriz da transformação , que representa como transforma vetores de na base para vetores em na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transformação linear em relação a duas bases. A matriz é uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor na base , nos dá as coordenadas da imagem desse vetor na base . Para construir essa matriz, precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado na base .

Passo 3

Vamos começar aplicando a transformação T(a1) = T(1, 0, 0) = (2 cdot 1 + 0 - 0, 1 + 2 cdot 0) = (2, 1) a cada um dos vetores da base T(a2) = T(2, -1, 0) = (2 cdot 2 + (-1) - 0, 2 + 2 cdot (-1)) = (4 - 1, 2 - 2) = (3, 0) :
  1. Para o primeiro vetor T(a3) = T(0, 1, 1) = (2 cdot 0 + 1 - 1, 0 + 2 cdot 1) = (0 + 1 - 1, 0 + 2) = (0, 2) :
  2. Para o segundo vetor :
  3. Para o terceiro vetor :
Agora, temos as imagens dos vetores da base após a transformação .

Passo 4

Agora, precisamos expressar cada uma dessas imagens na base T(aj) = c1 b1 + c2 b2 . Isso significa que vamos encontrar coeficientes (2, 1) = c1 (-1, 1) + c2 (0, 1) e -c1 + 0 cdot c2 = 2 Rightarrow -c1 = 2 Rightarrow c1 = -2 tais que:
c1 + c2 = 1 Rightarrow -2 + c2 = 1 Rightarrow c2 = 3
Para cada (3, 0) = c1 (-1, 1) + c2 (0, 1) , vamos resolver o sistema de equações para -c1 + 0 cdot c2 = 3 Rightarrow -c1 = 3 Rightarrow c1 = -3 e c1 + c2 = 0 Rightarrow -3 + c2 = 0 Rightarrow c2 = 3 .
  1. Para (0, 2) = c1 (-1, 1) + c2 (0, 1) :
    -c1 + 0 cdot c2 = 0 Rightarrow -c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
    Isso nos dá o sistema:
    c1 + c2 = 2 Rightarrow 0 + c2 = 2 Rightarrow c2 = 2
  2. Para :
    Sistema:
  3. Para :
    Sistema:

Passo 5

Agora que temos os coeficientes [T]A^B = c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23 e [T]A^B = -2 & -3 & 0 3 & 3 & 2 para cada imagem na base , podemos construir a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes e de :
Onde:
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
Então,

Resposta

A matriz da transformação linear [T]A^B = -2 & -3 & 0 3 & 3 & 2 é:

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