Consideremos a transformação linear
definida por
e as bases
do
do
. Determinar a matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Além disso, temos duas bases:
para
e
para
. Nosso objetivo é encontrar a matriz da transformação
, que representa como
transforma vetores de
na base
para vetores em
na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transformação linear em relação a duas bases. A matriz
é uma matriz que, quando multiplicada pelas coordenadas de um vetor na base
, nos dá as coordenadas da imagem desse vetor na base
. Para construir essa matriz, precisamos aplicar
a cada vetor da base
e expressar o resultado na base
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a transformação
a cada um dos vetores da base
:
-
Para o primeiro vetor
: -
Para o segundo vetor
: -
Para o terceiro vetor
:
Agora, temos as imagens dos vetores da base
após a transformação
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar cada uma dessas imagens na base
. Isso significa que vamos encontrar coeficientes
e
tais que:
Para cada
, vamos resolver o sistema de equações para
e
.
-
Para
: Isso nos dá o sistema: -
Para
: Sistema: -
Para
: Sistema:
Passo 5
Agora que temos os coeficientes
e
para cada imagem
na base
, podemos construir a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes
e
de
:
Onde:
- Para
: , - Para
: , - Para
: ,
Então,
Resposta
A matriz da transformação linear
é: