Seja a transformação linear e as bases e . Determinar . Qual a matriz , onde é a base canônica do ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . Temos duas bases:
Base no espaço .
Base no espaço .
Nosso objetivo é determinar a matriz da transformação em relação às bases e , ou seja, , e também encontrar a matriz , onde é a base canônica de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar os vetores das bases para aplicar a transformação linear e construir as matrizes desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz . Isso significa que queremos representar a transformação considerando que os vetores de entrada estão na base e os vetores de saída serão expressos na base .
Para isso, vamos seguir estes passos:
Expressar os vetores da base na base padrão .
Aplicar a transformação a cada vetor da base .
Expressar os resultados na base .
Organizar esses resultados como colunas na matriz .
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar os vetores da base :
Esses vetores já estão na base padrão de , então não precisamos fazer nenhuma mudança aqui.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação a cada vetor da base :
Para :
Para :
Agora temos as imagens dos vetores da base na transformação :
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses vetores resultantes na base . Para fazer isso, vamos resolver sistemas lineares para encontrar as coordenadas de e na base .
A base é composta por:
Queremos encontrar coeficientes tais que:
para .
Vamos fazer isso para cada .
Passo 6
Primeiro, para :
Temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação:
c3 = -3
Substituindo c2 + (-3) = 2 Rightarrow c2 = 5 na primeira equação:
c1 = 5 - 3 = 2
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, usando :
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para (3, 5, -3) = c1 (0, 0, 1) + c2 (0, 1, -1) + c3 (1, 1, 0) :
Substituindo c1 - 2 = -3 Rightarrow c1 = -1 na segunda equação:
Usando a terceira equação:
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 8
Agora que temos as coordenadas dos vetores transformados na base [T]A^B = 2 & -1 5 & 2 -3 & 3 , podemos construir a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados de na base :
Passo 9
Agora, vamos encontrar a matriz C = e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) , onde é a base canônica de . A base canônica é simplesmente:
Para encontrar , precisamos entender como a transformação atua na base e expressar os resultados na base canônica .
Passo 10
Primeiro, aplicamos [I]B^C = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & -1 & 0 a cada vetor da base . Porém, note que originalmente vai de para , então parece que há uma confusão aqui. Geralmente, seria relevante se fosse uma transformação de para .
Presumindo que queremos encontrar a matriz de mudança de base de para , chamada de , onde é a transformação identidade, podemos proceder da seguinte forma:
A matriz de mudança de base é composta pelos vetores da base expressos na base canônica . Ou seja, cada vetor de é uma coluna na matriz:
Resposta
A matriz da transformação linear [T]A^B = 2 & -1 5 & 2 -3 & 3 em relação às bases [T]B^C = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & -1 & 0 e é:
E a matriz de mudança de base de para a base canônica é: