Seja a transformação linear T: R^2 R^3, T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-3 y) e as bases A=(-1,1),(2,1) e B=(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0). Determinar [T]A^B. Qual a matriz [T]B^C, onde C é a base canônica do R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . Temos duas bases:
  • Base no espaço .
  • Base no espaço .
Nosso objetivo é determinar a matriz da transformação em relação às bases e , ou seja, , e também encontrar a matriz , onde é a base canônica de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar os vetores das bases para aplicar a transformação linear e construir as matrizes desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz . Isso significa que queremos representar a transformação considerando que os vetores de entrada estão na base e os vetores de saída serão expressos na base .
Para isso, vamos seguir estes passos:
  1. Expressar os vetores da base na base padrão .
  2. Aplicar a transformação a cada vetor da base .
  3. Expressar os resultados na base .
  4. Organizar esses resultados como colunas na matriz .
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar os vetores da base :
Esses vetores já estão na base padrão de , então não precisamos fazer nenhuma mudança aqui.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação T(-1, 1) = (2(-1) - 1, -1 + 3(1), -3(1)) = (-2 - 1, -1 + 3, -3) = (-3, 2, -3) a cada vetor da base T(2, 1) = (2(2) - 1, 2 + 3(1), -3(1)) = (4 - 1, 2 + 3, -3) = (3, 5, -3) :
  1. Para :
  2. Para :
Agora temos as imagens dos vetores da base na transformação :

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses vetores resultantes na base T(ai) = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 . Para fazer isso, vamos resolver sistemas lineares para encontrar as coordenadas de e na base .
A base é composta por:
Queremos encontrar coeficientes tais que:
para .
Vamos fazer isso para cada .

Passo 6

Primeiro, para (-3, 2, -3) = c1 (0, 0, 1) + c2 (0, 1, -1) + c3 (1, 1, 0) :
Temos:
0c1 + 0c2 + 1c3 = -3 0c1 + 1c2 + 1c3 = 2 1c1 - 1c2 + 0c3 = -3
Isso resulta no sistema de equações:
c1 - c2 = -3 Rightarrow c1 = c2 - 3
Resolvendo esse sistema:
  1. Da terceira equação:
    c3 = -3
  2. Substituindo c2 + (-3) = 2 Rightarrow c2 = 5 na primeira equação:
    c1 = 5 - 3 = 2
  3. Substituindo na segunda equação:
  4. Finalmente, usando :
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para (3, 5, -3) = c1 (0, 0, 1) + c2 (0, 1, -1) + c3 (1, 1, 0) :
Temos:
0c1 + 0c2 + 1c3 = 3 0c1 + 1c2 + 1c3 = 5 1c1 - 1c2 + 0c3 = -3
Isso dá o sistema:
c3 = 3
Resolvendo:
  1. Da primeira equação:
    c2 + 3 = 5 Rightarrow c2 = 2
  2. Substituindo c1 - 2 = -3 Rightarrow c1 = -1 na segunda equação:
  3. Usando a terceira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 8

Agora que temos as coordenadas dos vetores transformados na base [T]A^B = 2 & -1 5 & 2 -3 & 3 , podemos construir a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados de na base :

Passo 9

Agora, vamos encontrar a matriz C = e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) , onde é a base canônica de . A base canônica é simplesmente:
Para encontrar , precisamos entender como a transformação atua na base e expressar os resultados na base canônica .

Passo 10

Primeiro, aplicamos [I]B^C = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & -1 & 0 a cada vetor da base . Porém, note que originalmente vai de para , então parece que há uma confusão aqui. Geralmente, seria relevante se fosse uma transformação de para .
Presumindo que queremos encontrar a matriz de mudança de base de para , chamada de , onde é a transformação identidade, podemos proceder da seguinte forma:
A matriz de mudança de base é composta pelos vetores da base expressos na base canônica . Ou seja, cada vetor de é uma coluna na matriz:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]A^B = 2 & -1 5 & 2 -3 & 3 em relação às bases [T]B^C = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & -1 & 0 e é:
E a matriz de mudança de base de para a base canônica é:

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