Consideremos os vetores e1=(1,0,0)^T, e2=(0,1,0)^T, e3=(0,0,1)^T e w= (2,3,0)^T
(a) O conjunto e1, e2, e3, w é L.D.? Por quê?
(b) w pode ser escrito como uma combinação linear de e1, e2 e e3 ?
(c) e3 pode ser escrito como uma combinação linear de e1, e2 e w ?

Passo 1

O enunciado está em R^3 com os vetores padrão
e1=(1,0,0)^T, e2=(0,1,0)^T, e3=(0,0,1)^T
e o vetor
w=(2,3,0)^T
Precisamos decidir sobre dependência linear do conjunto e1,e2,e3,w e estudar se w e e3 pertencem ao espaço gerado pelos outros três vetores.

Passo 2

Para (a), lembramos que em R^n qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente. Aqui n=3 e temos quatro vetores em R^3. Logo
e1,e2,e3,w
é linearmente dependente, pois não é possível ter quatro vetores LI em espaço de dimensão três.

Passo 3

Para (b), procuramos escalares a,b,c tais que
w = a,e1 + b,e2 + c,e3
Comparando componentes:
primeira: a=2, segunda: b=3, terceira: c=0. Portanto
w = 2,e1 + 3,e2 + 0,e3,
ou seja, sim: winSpane1,e2,e3.

Passo 4

Para (c), tentamos encontrar a,b,c tais que
a,e1 + b,e2 + c,w = e3
Escrevendo o sistema de componentes:
a + 2c = 0, b + 3c = 0, 0 = 1
A terceira equação 0=1 é impossível, logo não existe tal combinação. Portanto e3notinSpane1,e2,w.

Resposta

(a) O conjunto é linearmente dependente, pois tem 4 vetores em R^3.
(b) Sim, w = 2e1 + 3e2 + 0e3.
(c) Não, não há solução para escrever e3 como combinação de e1,e2,w.

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