Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
.
(a) Dê um contraexemplo para provar que
nem sempre é um subespaço vetorial de
.
(b) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(a) Dê um contraexemplo para provar que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) apresentar um caso em que
não é subespaço; (b) provar que
é sempre subespaço de
.
Lembra que um subconjunto é subespaço se e somente se (i)
, (ii) para todo
tem-se
e (iii) para todo
e escalar
tem-se
.
Lembra que um subconjunto
Passo 2
Contraexemplo para (a): seja
,
ambos são subespaços (eixo
e eixo
).
Passo 3
Observe que
e
, mas
logo
não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.
Passo 4
Agora, para (b), definimos
Vamos verificar as três propriedades de subespaço.
Passo 5
Mostramos que
e fechadura sob soma:
- Como
e , então . - Se
, escreva e com . Então
e como
são subespaços,
e
, logo
.
Passo 6
Fechadura sob multiplicação escalar: seja
escalar e
. Então
e como
são fechados em escalares,
e
, logo
. Assim,
satisfaz (i), (ii) e (iii).
Resposta
(a) Por exemplo em
com
e
, a união não é fechada sob soma.
(b) contém
e é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de
.
(b)