Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V.
(a) Dê um contraexemplo para provar que W1 cup W2 nem sempre é um subespaço vetorial de V.
(b) Mostre que W1+W2 é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) apresentar um caso em que W1cup W2 não é subespaço; (b) provar que
W1+W2=w1+w2mid w1in W1,,w2in W2
é sempre subespaço de V.
Lembra que um subconjunto Usubset V é subespaço se e somente se (i) 0in U, (ii) para todo u,u'in U tem-se u+u'in U e (iii) para todo uin U e escalar alpha tem-se alpha uin U.

Passo 2

Contraexemplo para (a): seja V= R^2,
W1=(x,0)mid xin Re W2=(0,y)mid yin R
ambos são subespaços (eixo x e eixo y).

Passo 3

Observe que (1,0)in W1subset W1cup W2 e (0,1)in W2subset W1cup W2, mas
(1,0)+(0,1)=(1,1)notin W1cup W2,
logo W1cup W2 não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.

Passo 4

Agora, para (b), definimos
W1+W2=w1+w2mid w1in W1,;w2in W2
Vamos verificar as três propriedades de subespaço.

Passo 5

Mostramos que 0in W1+W2 e fechadura sob soma:
  • Como 0in W1 e 0in W2, então 0+0=0in W1+W2.
  • Se u,vin W1+W2, escreva u=w1+w2 e v=w'1+w'2 com wi,w'iin Wi. Então
u+v=(w1+w2)+(w'1+w'2)=(w1+w'1)+(w2+w'2),
e como W1,W2 são subespaços, w1+w'1in W1 e w2+w'2in W2, logo u+vin W1+W2.

Passo 6

Fechadura sob multiplicação escalar: seja alpha escalar e u=w1+w2in W1+W2. Então
alpha u=alpha(w1+w2)=(alpha w1)+(alpha w2),
e como W1,W2 são fechados em escalares, alpha w1in W1 e alpha w2in W2, logo alpha uin W1+W2. Assim, W1+W2 satisfaz (i), (ii) e (iii).

Resposta

(a) Por exemplo em V= R^2 com W1=(x,0) e W2=(0,y), a união não é fechada sob soma.
(b) W1+W2 contém 0 e é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de V.

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