By considering different paths of approach, show that the functions in Exercises 35-42 have no limit as (x, y) \rightarrow(0,0).
f(x, y)=-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado considera a função
f(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
definida em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\} e pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe. Vamos usar o fato de que, se o limite existisse, seu valor teria de ser o mesmo ao longo de quaisquer curvas que levem a (0,0).

Passo 2

Abordagem pela reta y=mx com m fixo e x\to0^+. Substituindo y=mx em f:
f(x,mx) =-\frac{x}{\sqrt{x^2+m^2x^2}} =-\frac{x}{|x|\sqrt{1+m^2}} =-\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1+m^2}}.
Para x\to0^+ temos \sgn(x)=1, logo
\lim_{x\to0^+}f(x,mx)=-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}.
Esse valor depende de m.

Passo 3

Como ao variar a inclinação m obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=mx}f(x,y) =-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}},
e esse número muda com m, concluímos que não há um valor único do limite quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} não existe.

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