At what points (x, y) in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
g(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede os pontos (x,y) onde a função
g(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y}
é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis, operações algébricas de funções contínuas e domínio de quocientes.

Passo 2

A função (x,y)\mapsto x^{2} é contínua em \mathbb{R}^{2}, a projeção (x,y)\mapsto y também é contínua, e portanto
(x,y)\;\mapsto\;x^{2}-y
é contínua por soma e diferença de funções contínuas.

Passo 3

Como g é o quociente de duas funções contínuas (o numerador constante 1 e o denominador x^{2}-y), ela será contínua exatamente nos pontos em que o denominador não se anula.

Passo 4

Resolvendo
x^{2}-y=0
obtém-se a parábola y=x^{2}. Logo, a descontinuidade ocorre nessa curva, e g é contínua em todos os outros pontos de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função g é contínua em
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y\neq0\},
ou seja, em todos os (x,y) tais que y\neq x^{2}.

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