At what points
in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
Passo 1
O enunciado pede os pontos de
onde a função
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis formadas por operações algébricas (polinômios e quociente). Vamos usar que polinômios são contínuos em toda parte e que o quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador não se anula.
Passo 2
Observe que o numerador
é um polinômio em
, logo contínuo em todo
. De modo análogo, o denominador
também é um polinômio em
(na verdade, independe de
), portanto contínuo em todo
.
Passo 3
A regra do quociente diz que se
e
são contínuas, então
é contínua em todos os pontos onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos achar onde
:
fatora como
logo as raízes são
ou
. Em qualquer ponto com
ou
o denominador se anula e
não está nem definida nem contínua.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
tais que