At what points (x, y) in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
g(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede os pontos de \mathbb{R}^2 onde a função
g(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-3x+2}
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis formadas por operações algébricas (polinômios e quociente). Vamos usar que polinômios são contínuos em toda parte e que o quociente de funções contínuas é contínuo quando o denominador não se anula.

Passo 2

Observe que o numerador x^{2}+y^{2} é um polinômio em x,y, logo contínuo em todo \mathbb{R}^2. De modo análogo, o denominador x^{2}-3x+2 também é um polinômio em x,y (na verdade, independe de y), portanto contínuo em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

A regra do quociente diz que se N(x,y) e D(x,y) são contínuas, então
\frac{N(x,y)}{D(x,y)}
é contínua em todos os pontos onde D(x,y)\neq 0. No nosso caso, N(x,y)=x^{2}+y^{2} e D(x,y)=x^{2}-3x+2.

Passo 4

Vamos achar onde D(x,y)=0:
x^{2}-3x+2=0
fatora como
(x-1)(x-2)=0
logo as raízes são x=1 ou x=2. Em qualquer ponto com x=1 ou x=2 o denominador se anula e g não está nem definida nem contínua.

Resposta

A função g é contínua em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que
x\neq 1 \quad\text{e}\quad x\neq 2.

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