As seguintes afirmações são verdaderas ou falsas? Em cuida caso justifique sua resposta. (Caso a afirmação seja falsa, apresente um contra-exemplo).
“Dadas duns matrizes de 2 \times 2 simétricas quaisquer, A e B, temos que a matriz A^{T}+B^{T} também é simétrica.”

Passo 1

O enunciado diz: “Dadas duas matrizes 2\times2 simétricas quaisquer, A e B, provar se a matriz A^{T}+B^{T} também é simétrica.”
Conteúdo: propriedades de matriz transposta e simetria. Vamos usar que uma matriz M é simétrica se e somente se M^{T}=M, e que (X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T} e (X^{T})^{T}=X.

Passo 2

Como A e B são simétricas, temos
A^{T}=A \quad\text{e}\quad B^{T}=B.

Passo 3

Calculemos a transposta de A^{T}+B^{T}:
(A^{T}+B^{T})^{T} =(A^{T})^{T}+(B^{T})^{T} =A+B.
Mas, usando A^{T}=A e B^{T}=B, segue que
A+B =A^{T}+B^{T}.

Passo 4

Portanto
(A^{T}+B^{T})^{T} =A^{T}+B^{T},
o que mostra que A^{T}+B^{T} é simétrica.

Resposta

Verdadeiro.

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