A equação diferencial para a carga instantânea
no capacitor em série L-C-R é dada por
Determine
quando
henry,
ohms,
farad,
volts,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a carga instantânea $ q(t) $ em um circuito LCR série com certos valores dados. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial que descreve como a carga varia no tempo nesse circuito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e equações diferenciais de segunda ordem. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial fornecida com os valores dados:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 3
Agora, nossa equação ficou:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução da equação homogênea ($ \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 20 \frac{d q}{d t} + 200 q = 0 $) e depois adicionar uma solução particular.
Passo 4
Vamos resolver a parte homogênea primeiro:
Assumimos uma solução da forma $ q_h(t) = e^{rt} $ e substituímos:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular constante $ q_p $.
Substituindo na equação:
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $:
- $ q(0) = 0 $
- $ i(0) = 0 $ onde $ i(t) = \frac{dq}{dt} $
Primeiro, para $ q(0) = 0 $:
Passo 9
Agora, vamos encontrar $ C_2 $. Primeiro, calculamos $ \frac{dq}{dt} $:
Avaliado em $ t = 0 $ e sabendo que $ i(0) = 0 $:
Passo 10
Com $ C_1 = -0,75 $ e $ C_2 = -0,75 $, a solução fica:
Podemos fatorar o -0,75:
Resposta
A carga instantânea no capacitor é dada por