A equação diferencial para a carga instantânea q(t) no capacitor em série L-C-R é dada por
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=E(t)
Determine q(t) quando L=1 henry, R=20 ohms, C=0,005 farad, E(t)=150 volts, t>0 e q(0)=0, i(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a carga instantânea $ q(t) $ em um circuito LCR série com certos valores dados. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial que descreve como a carga varia no tempo nesse circuito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e equações diferenciais de segunda ordem. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial fornecida com os valores dados:
L d^2 qd t^2 + R d qd t + 1C q = E(t)
Substituindo os valores:
1 cdot d^2 qd t^2 + 20 cdot d qd t + 10,005 q = 150
Simplificando:
d^2 qd t^2 + 20 d qd t + 200 q = 150

Passo 3

Agora, nossa equação ficou:
d^2 qd t^2 + 20 d qd t + 200 q = 150
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução da equação homogênea ($ \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 20 \frac{d q}{d t} + 200 q = 0 $) e depois adicionar uma solução particular.

Passo 4

Vamos resolver a parte homogênea primeiro:
d^2 qd t^2 + 20 d qd t + 200 q = 0
Assumimos uma solução da forma $ q_h(t) = e^{rt} $ e substituímos:
qh(t) = e^rt
Resolvendo a equação quadrática:
r^2 + 20 r + 200 = 0
r = -20 pm raiz20^2 - 4 cdot 1 cdot 2002 = -20 pm raiz400 - 8002 = -20 pm raiz-4002

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução homogênea é:
qh(t) = e^-10 t ( C1 cos(10 t) + C2 sin(10 t) )
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
d^2 qd t^2 + 20 d qd t + 200 q = 150
Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular constante $ q_p $.
Substituindo na equação:
qp

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
q(t) = qh(t) + qp = e^-10 t ( C1 cos(10 t) + C2 sin(10 t) ) + 0,75

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $:
  1. $ q(0) = 0 $
  2. $ i(0) = 0 $ onde $ i(t) = \frac{dq}{dt} $
Primeiro, para $ q(0) = 0 $:
C1

Passo 9

Agora, vamos encontrar $ C_2 $. Primeiro, calculamos $ \frac{dq}{dt} $:
C2
Avaliado em $ t = 0 $ e sabendo que $ i(0) = 0 $:
dqdt

Passo 10

Com $ C_1 = -0,75 $ e $ C_2 = -0,75 $, a solução fica:
C1 = -0,75
Podemos fatorar o -0,75:
C2 = -0,75

Resposta

A carga instantânea no capacitor é dada por
q(t) = 0,75 [ 1 - e^-10 t ( cos(10 t) + sin(10 t) ) ]

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