) Considrere matrizes quadrada não-nula
.
a) Mostre que o
ou
.
b) Exiba duas matrizes quadradas
e
tais que
.
c) Se
e
for invetivel então
.
d) Conclua que
.
b) Exiba duas matrizes quadradas
c) Se
d) Conclua que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada não-nula
que satisfaz a equação
. A matéria aqui envolve álgebra de matrizes, especificamente propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações matriciais e aplicar propriedades de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) que pede para mostrar que
ou
.
Vamos começar reorganizando a equação dada:
Podemos fatorar
da expressão:
Agora, lembrando que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, temos:
Sabemos que
. Assim:
Para que esse produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) que pede para exibir duas matrizes quadradas
e
tais que
.
Podemos escolher
e
. Então:
Portanto, essas matrizes satisfazem a condição requerida.
Passo 4
Na parte c), precisamos mostrar que se
e
for invertível, então
.
Vamos supor que
é invertível. Isso significa que existe uma matriz inversa
tal que:
Multiplicando ambos os lados da equação
pela inversa de
:
Simplificando:
Então, se
é invertível e
, necessariamente
deve ser a matriz nula.
Passo 5
Finalmente, na parte d), precisamos concluir que
.
Retomando a parte a), sabemos que:
Mas, do passo c), se
, então
seria invertível. Se
é invertível, a única maneira de
ocorrer é se
, ou seja,
. Contudo, se
, então
.
Portanto, independente de
, sempre teremos:
Resposta
Concluímos que
.