) Considrere matrizes quadrada não-nula A.
A^3+5 A^2=0
a) Mostre que o det[A]=0 ou det[A+5 In]=0.
b) Exiba duas matrizes quadradas M e N tais que M N=0.
c) Se M N=0 e M for invetivel então N=0.
d) Conclua que det[A+5 In]=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada não-nula A que satisfaz a equação A^3 + 5A^2 = 0. A matéria aqui envolve álgebra de matrizes, especificamente propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações matriciais e aplicar propriedades de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) que pede para mostrar que det[A] = 0 ou det[A + 5In] = 0.
Vamos começar reorganizando a equação dada:
A^3 + 5A^2 = 0
Podemos fatorar A^2 da expressão:
A^2(A + 5In) = 0
Agora, lembrando que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, temos:
det(A^2(A + 5In)) = det(A^2) cdot det(A + 5In) = 0
Sabemos que det(A^2) = (det(A))^2. Assim:
(det(A))^2 cdot det(A + 5In) = 0
Para que esse produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Portanto:
det(A) = 0 ou det(A + 5In) = 0

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) que pede para exibir duas matrizes quadradas M e N tais que MN = 0.
Podemos escolher M = A^2 e N = A + 5In. Então:
MN = A^2(A + 5In) = A^3 + 5A^2 = 0
Portanto, essas matrizes satisfazem a condição requerida.

Passo 4

Na parte c), precisamos mostrar que se MN = 0 e M for invertível, então N = 0.
Vamos supor que M é invertível. Isso significa que existe uma matriz inversa M^-1 tal que:
M^-1M = In
Multiplicando ambos os lados da equação MN = 0 pela inversa de M:
M^-1MN = M^-1 cdot 0
Simplificando:
In N = 0 Rightarrow N = 0
Então, se M é invertível e MN = 0, necessariamente N deve ser a matriz nula.

Passo 5

Finalmente, na parte d), precisamos concluir que det[A + 5In] = 0.
Retomando a parte a), sabemos que:
det(A) = 0 ou det(A + 5In) = 0
Mas, do passo c), se det(A) neq 0, então A seria invertível. Se A é invertível, a única maneira de A^2(A + 5In) = 0 ocorrer é se A + 5In = 0, ou seja, A = -5In. Contudo, se A = -5In, então det(A + 5In) = det(0) = 0.
Portanto, independente de det(A), sempre teremos:
det(A + 5In) = 0

Resposta

Concluímos que det[A + 5In] = 0.

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