Se possível, encontre a inversa das seguintes matrizes:
[rrrr1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 & 2 1 & 2 & -1 & 1 5 & 15 & 15 & 10]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 & 2 1 & 2 & -1 & 1 5 & 15 & 15 & 10
Usaremos o método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada (Amid I), aplicamos operações elementares para obter (Imid A^-1) e então lemos A^-1.

Passo 2

Montamos
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 5 & 15 & 15 & 10 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
e eliminamos abaixo do pivô da coluna 1:
R2 R2-R1, R3 R3-R1, R4 R4-5R1
ficando
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 10 & 10 & 5 & -5 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da coluna 2 em R2 dividindo por 2 e eliminamos na coluna 2:
R2 tfrac12R2, R3 R3-R2, R4 R4-10R2
obtendo
[cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -0.5 & -0.5 & -0.5 & 1 & 0 0 & 0 & 10 & 0 & 0 & -5 & 0 & 1 ]

Passo 4

Normalizamos o pivô da coluna 3 em R3 dividindo por -2 e eliminamos na coluna 3:
R3 -tfrac12 R3, R1 R1-R3, R4 R4-10R3
ficando
[cccc|cccc 1 & 1 & 0 & 0.75 & 0.75 & -0.25 & 0.5 & 0 0 & 1 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.25 & 0.25 & 0.25 & -0.5 & 0 0 & 0 & 0 & -2.5 & -2.5 & -7.5 & 5 & 1 ]

Passo 5

Normalizamos o pivô da coluna 4 em R4 dividindo por -2.5 e eliminamos na coluna 4 acima:
R4 -tfrac12.5R4, Ri Ri - (entrada em coluna 4 de Ri),R4 (i=1,2,3)
chegando a
[cccc|cccc 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2.5 & 2 & 0.3 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0.2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0 & 0.1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -2 & -0.4 ]

Passo 6

Eliminamos o 1 que sobra em coluna 2 de R1:
R1 R1-R2
e obtemos
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1.5 & 1 & 0.1 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0.2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0 & 0.1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -2 & -0.4 ]
A parte à direita é exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = 1 & -tfrac32 & 1 & tfrac110 -1 & -1 & 1 & tfrac15 0 & -tfrac12 & 0 & tfrac110 1 & 3 & -2 & -tfrac25

Exercícios relacionados