Seja
uma matriz de ordem 3 tal que
. Mostre que
. (Sugestão: use o traço). O resultado é válido no caso geral de matrizes de ordem
?
Passo 1
O enunciado considera uma matriz
de ordem
tais que
O conteúdo principal aqui é a noção de traço de uma matriz e a propriedade de que
Vamos usar essas ideias para mostrar que todos os elementos de
devem ser zero.
Passo 2
Aplicamos a operação traço em ambos os lados de
. Usando a linearidade do traço e o fato de que o traço da matriz nula é zero, obtemos
Passo 3
Pela propriedade fundamental do traço, que expressa a soma dos quadrados dos elementos de
, temos
Como essa soma de quadrados é zero, cada termo
deve ser zero. Logo
o que implica que
Passo 4
Nada no nosso argumento usou o fato de a matriz ter ordem exatamente
. Para uma matriz
de ordem
real, ainda vale
Se
, então
e a soma de quadrados dos
elementos de
é zero. Logo todos os
são nulos e
.
Resposta
e o resultado vale para qualquer matriz real de ordem
.