Seja A uma matriz de ordem 3 tal que A A^t=0. Mostre que A=0. (Sugestão: use o traço). O resultado é válido no caso geral de matrizes de ordem n?

Passo 1

O enunciado considera uma matriz A de ordem 3 tais que
A A^t = 0
O conteúdo principal aqui é a noção de traço de uma matriz e a propriedade de que
tr(A A^t) = sumi,j aij^2
Vamos usar essas ideias para mostrar que todos os elementos de A devem ser zero.

Passo 2

Aplicamos a operação traço em ambos os lados de A A^t = 0. Usando a linearidade do traço e o fato de que o traço da matriz nula é zero, obtemos
tr(A A^t) = tr(0) = 0

Passo 3

Pela propriedade fundamental do traço, que expressa a soma dos quadrados dos elementos de A, temos
tr(A A^t) = sumi=1^3sumj=1^3 aij^2
Como essa soma de quadrados é zero, cada termo aij^2 deve ser zero. Logo
aij = 0para todo i,j,
o que implica que
A = 0

Passo 4

Nada no nosso argumento usou o fato de a matriz ter ordem exatamente 3. Para uma matriz A de ordem n real, ainda vale
tr(A A^t) = sumi=1^nsumj=1^n aij^2
Se A A^t=0, então tr(A A^t)=0 e a soma de quadrados dos n^2 elementos de A é zero. Logo todos os aij são nulos e A=0.

Resposta

A = 0,
e o resultado vale para qualquer matriz real de ordem n.

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