) Seja
a) Calcule o determinante de A J
b) Obtenha a solução do sistema AX=B tal B=[llll2 & 8 & -12 & 16]^T
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes:
a) Calcular o determinante de A J .
b) Encontrar a solução do sistema AX = B onde B = 2 8 -12 16 .
Vamos precisar usar conceitos de determinantes e resolução de sistemas lineares, então vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Aqui, precisamos calcular o determinante de A J . Mas antes, precisamos saber o que é J . Geralmente, J representa a matriz adjunta (ou adjugate) de A , que tem uma relação direta com o determinante.
Passo 3
A matriz adjunta de A , denotada por adj(A) , tem a propriedade de que:
A cdot adj(A) = det(A) cdot I
onde I é a matriz identidade.
Portanto, se J = adj(A) , então:
A J = det(A) cdot I
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de A J :
det(A J) = det(det(A) cdot I) = det(A)^4
Isso porque I é uma matriz 4 times 4 e o determinante de cI é c^n onde n é a ordem da matriz.
Passo 5
Para encontrar det(A J) , precisamos primeiro calcular det(A) . Vamos calcular o determinante da matriz A :
Como A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Agora vamos para a parte b) do exercício: resolver o sistema AX = B com B = 2 8 -12 16 .
Para resolver sistemas lineares, podemos usar a inversa da matriz A , desde que ela exista (ou seja, det(A) neq 0 ). Já sabemos que det(A) = -32 , então A é invertível.
Passo 10
A solução do sistema AX = B é dada por:
X = A^-1 B
Então, precisamos encontrar a inversa de A , A^-1 , e multiplicá-la pela matriz B .
Passo 11
A inversa de uma matriz A pode ser calculada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Já conhecemos det(A) = -32 e adj(A) = J .
Passo 12
Então:
A^-1 = 1-32 cdot J
Agora, para encontrar X :
X = 1-32 cdot J cdot B
Passo 13
Precisamos calcular J cdot B . A matriz adjunta J de A multiplicada por B pode ser complexa, mas vamos considerar que, como A J = det(A) I , a multiplicação resulta em:
A J B = det(A) B
Mas, na verdade, precisamos diretamente de J B , então uma forma mais simples seria resolver o sistema diretamente usando métodos como eliminação de Gauss.
Passo 14
Vamos resolver o sistema AX = B usando eliminação de Gauss. Escrevemos o sistema aumentado: