) Seja A=(cccc-1 & 3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 & 4 0 & 0 & 4 & -4 0 & -6 & 2 & 4)
a) Calcule o determinante de A J
b) Obtenha a solução do sistema AX=B tal B=[llll2 & 8 & -12 & 16]^T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado tem duas partes:
a) Calcular o determinante de A J .
b) Encontrar a solução do sistema AX = B onde B = 2 8 -12 16 .
Vamos precisar usar conceitos de determinantes e resolução de sistemas lineares, então vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Aqui, precisamos calcular o determinante de A J . Mas antes, precisamos saber o que é J . Geralmente, J representa a matriz adjunta (ou adjugate) de A , que tem uma relação direta com o determinante.

Passo 3

A matriz adjunta de A , denotada por adj(A) , tem a propriedade de que:
A cdot adj(A) = det(A) cdot I
onde I é a matriz identidade.
Portanto, se J = adj(A) , então:
A J = det(A) cdot I

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de A J :
det(A J) = det(det(A) cdot I) = det(A)^4
Isso porque I é uma matriz 4 times 4 e o determinante de cI é c^n onde n é a ordem da matriz.

Passo 5

Para encontrar det(A J) , precisamos primeiro calcular det(A) . Vamos calcular o determinante da matriz A :
A = -1 & 3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 & 4 0 & 0 & 4 & -4 0 & -6 & 2 & 4

Passo 6

Como A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = (-1) times 2 times 4 times 4 = -32

Passo 7

Agora que temos det(A) = -32 , podemos calcular det(A J) :
det(A J) = (-32)^4 = 1.048.576

Passo 8

Pronto, chegamos à resposta da parte a)!

Passo 9

Agora vamos para a parte b) do exercício: resolver o sistema AX = B com B = 2 8 -12 16 .
Para resolver sistemas lineares, podemos usar a inversa da matriz A , desde que ela exista (ou seja, det(A) neq 0 ). Já sabemos que det(A) = -32 , então A é invertível.

Passo 10

A solução do sistema AX = B é dada por:
X = A^-1 B
Então, precisamos encontrar a inversa de A , A^-1 , e multiplicá-la pela matriz B .

Passo 11

A inversa de uma matriz A pode ser calculada usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Já conhecemos det(A) = -32 e adj(A) = J .

Passo 12

Então:
A^-1 = 1-32 cdot J
Agora, para encontrar X :
X = 1-32 cdot J cdot B

Passo 13

Precisamos calcular J cdot B . A matriz adjunta J de A multiplicada por B pode ser complexa, mas vamos considerar que, como A J = det(A) I , a multiplicação resulta em:
A J B = det(A) B
Mas, na verdade, precisamos diretamente de J B , então uma forma mais simples seria resolver o sistema diretamente usando métodos como eliminação de Gauss.

Passo 14

Vamos resolver o sistema AX = B usando eliminação de Gauss. Escrevemos o sistema aumentado:
-1 & 3 & 2 & 1 & | & 2 0 & 2 & 2 & 4 & | & 8 0 & 0 & 4 & -4 & | & -12 0 & -6 & 2 & 4 & | & 16

Passo 15

Começamos eliminando abaixo do primeiro pivô (-1). As linhas já estão prontas abaixo do primeiro elemento.
Vamos para a segunda coluna. O pivô é 2 na segunda linha.
Multiplicamos a segunda linha por 3 e somamos à quarta linha para eliminar o -6:
L4 = L4 + 3 cdot L2
0 + 3 cdot 0 = 0, -6 + 3 cdot 2 = 0, 2 + 3 cdot 2 = 8, 4 + 3 cdot 4 = 16, 16 + 3 cdot 8 = 40
A nova quarta linha:
0 0 8 16 | 40

Passo 16

Agora, a matriz fica:
-1 & 3 & 2 & 1 & | & 2 0 & 2 & 2 & 4 & | & 8 0 & 0 & 4 & -4 & | & -12 0 & 0 & 8 & 16 & | & 40
Vamos para a terceira coluna. O pivô é 4 na terceira linha.
Multiplicamos a terceira linha por 2 e subtraímos da quarta linha para eliminar o 8:
L4 = L4 - 2 cdot L3
0 - 2 cdot 0 = 0, 0 - 2 cdot 0 = 0, 8 - 2 cdot 4 = 0, 16 - 2 cdot (-4) = 24, 40 - 2 cdot (-12) = 64
A nova quarta linha:
0 0 0 24 | 64

Passo 17

Agora, a matriz triangularizada é:
-1 & 3 & 2 & 1 & | & 2 0 & 2 & 2 & 4 & | & 8 0 & 0 & 4 & -4 & | & -12 0 & 0 & 0 & 24 & | & 64
Vamos resolver de baixo para cima.
Da quarta linha:
24x4 = 64 Rightarrow x4 = 6424 = 166 = 83

Passo 18

Substituímos x4 na terceira linha:
4x3 - 4 cdot 83 = -12 4x3 - 323 = -12 4x3 = -12 + 323 = -363 + 323 = -43 x3 = -43 div 4 = -13

Passo 19

Substituímos x3 e x4 na segunda linha:
2x2 + 2 cdot (-13) + 4 cdot 83 = 8 2x2 - 23 + 323 = 8 2x2 + 303 = 8 2x2 + 10 = 8 2x2 = -2 x2 = -1

Passo 20

Finalmente, substituímos x2 , x3 , e x4 na primeira linha:
-1x1 + 3(-1) + 2(-13) + 1 cdot 83 = 2 - x1 - 3 - 23 + 83 = 2 - x1 - 3 + 63 = 2 - x1 - 3 + 2 = 2 - x1 -1 = 2 - x1 = 3 x1 = -3

Resposta

b) A solução do sistema AX = B é:
X = -3 -1 -13 83

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