)Determine os valores de lambda e mu tais que o sistema de equações lineares:
l x+5 z=2 2 x+y+12 lambda z=3 -5 x+y+lambda^2 z=mu
a) não admita solução.
b) admita uma infinidade de soluções.
c) admita solução única.
d) Obtenha as soluções para esse sistema nas condições obtidas em (b).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações lineares com duas incógnitas ( lambda e mu) nos coeficientes. O objetivo é encontrar os valores de lambda e mu que fazem com que o sistema:
l x + 5 z = 2 2 x + y + 12 lambda z = 3 -5 x + y + lambda^2 z = mu
a) Não tenha solução.
b) Tenha uma infinidade de soluções.
c) Tenha uma solução única.
d) Encontre as soluções nesse caso de infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento de matrizes e analisar o determinante da matriz dos coeficientes para identificar as condições de existência das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 0 & 5 & | & 2 2 & 1 & 12lambda & | & 3 -5 & 1 & lambda^2 & | & mu
Vamos usar operações elementares para transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada, facilitando a análise das soluções.

Passo 3

Começamos eliminando o x nas segunda e terceira equações. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda:
(2x + y + 12lambda z) - 2(x + 5z) = 3 - 2(2)
Simplificando:
0x + y + (12lambda - 10)z = -1
  • Adicionamos 5 vezes a primeira equação à terceira:
(-5x + y + lambda^2 z) + 5(x + 5z) = mu + 5(2)
Simplificando:
0x + y + (lambda^2 + 25)z = mu + 10
Agora, a matriz fica:
1 & 0 & 5 & | & 2 0 & 1 & 12lambda - 10 & | & -1 0 & 1 & lambda^2 + 25 & | & mu + 10

Passo 4

Agora, vamos eliminar o y na terceira equação subtraindo a segunda equação da terceira:
(0x + y + (lambda^2 + 25)z) - (0x + y + (12lambda - 10)z) = (mu + 10) - (-1)
Simplificando:
0x + 0y + (lambda^2 + 25 - 12lambda + 10)z = mu + 11
Ou seja:
(lambda^2 - 12lambda + 35)z = mu + 11

Passo 5

Agora, analisamos a última equação obtida:
(lambda^2 - 12lambda + 35)z = mu + 11
Essa equação nos diz que:
  • Se lambda^2 - 12lambda + 35 neq 0, então podemos resolver para z isolando:
z = mu + 11lambda^2 - 12lambda + 35
  • Se lambda^2 - 12lambda + 35 = 0, então a equação se reduz a 0 = mu + 11, ou seja, mu = -11.
Vamos analisar esses casos para responder aos itens a), b) e c).

Passo 6

Primeiro, encontramos as raízes da equação quadrática lambda^2 - 12lambda + 35 = 0 para saber quando o denominador é zero:
lambda^2 - 12lambda + 35 = 0
Resolvendo a equação:
lambda = 12 pm raiz144 - 1402 = 12 pm raiz42 = 12 pm 22
Portanto:
lambda = 7 ou lambda = 5

Passo 7

Agora, vamos analisar cada caso:
a) Sistema não admite solução.
Isso ocorre quando temos uma equação inconsistente, ou seja, uma equação do tipo 0 = c, onde c neq 0.
Isso acontece quando lambda^2 - 12lambda + 35 = 0 e mu + 11 neq 0.
Portanto, os valores de lambda são 5 e 7, e mu neq -11.
b) Sistema admite uma infinidade de soluções.
Isso ocorre quando temos uma equação redundante, ou seja, ambas as equações resultantes são equivalentes.
Isso acontece quando lambda^2 - 12lambda + 35 = 0 e mu + 11 = 0.
Ou seja, lambda = 5 ou 7 e mu = -11.
c) Sistema admite solução única.
Isso ocorre quando lambda^2 - 12lambda + 35 neq 0, ou seja, lambda neq 5 e lambda neq 7.
d) Obtenha as soluções para esse sistema nas condições obtidas em (b).
Quando lambda = 5 ou 7 e mu = -11, temos uma infinidade de soluções. Vamos encontrar essa solução.

Passo 8

Tomando lambda = 5 e mu = -11:
Voltando à segunda equação simplificada:
y + (12lambda - 10)z = -1
Substituindo lambda = 5:
y + (60 - 10)z = -1 implies y + 50z = -1 implies y = -1 - 50z
E da primeira equação:
x + 5z = 2 implies x = 2 - 5z
Portanto, as soluções são:
x = 2 - 5z, y = -1 - 50z, z é livre é
O mesmo processo vale para lambda = 7 e mu = -11.

Resposta

A) O sistema não admite solução quando lambda = 5 ou lambda = 7 e mu neq -11.
B) O sistema admite uma infinidade de soluções quando lambda = 5 ou lambda = 7 e mu = -11.
C) O sistema admite solução única para qualquer valor de lambda diferente de 5 e 7.
D) Nas condições de infinitas soluções ( lambda = 5 ou 7 e mu = -11), as soluções são dadas por:
x = 2 - 5z, y = -1 - 50z, z é livre é

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