)Determine os valores de
e
tais que o sistema de equações lineares:
a) não admita solução.
b) admita uma infinidade de soluções.
c) admita solução única.
d) Obtenha as soluções para esse sistema nas condições obtidas em (b).
b) admita uma infinidade de soluções.
c) admita solução única.
d) Obtenha as soluções para esse sistema nas condições obtidas em (b).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações lineares com duas incógnitas (
lambda e
mu ) nos coeficientes. O objetivo é encontrar os valores de
lambda e
mu que fazem com que o sistema:
a) Não tenha solução.
b) Tenha uma infinidade de soluções.
c) Tenha uma solução única.
d) Encontre as soluções nesse caso de infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento de matrizes e analisar o determinante da matriz dos coeficientes para identificar as condições de existência das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Vamos usar operações elementares para transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada, facilitando a análise das soluções.
Passo 3
Começamos eliminando o
x nas segunda e terceira equações. Para isso:
- Subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda:
Simplificando:
- Adicionamos 5 vezes a primeira equação à terceira:
Simplificando:
Agora, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o
y na terceira equação subtraindo a segunda equação da terceira:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 5
Agora, analisamos a última equação obtida:
Essa equação nos diz que:
- Se
, então podemos resolver paralambda^2 - 12lambda + 35 neq 0 isolando:z
- Se
, então a equação se reduz alambda^2 - 12lambda + 35 = 0 , ou seja,0 = mu + 11 .mu = -11
Vamos analisar esses casos para responder aos itens a), b) e c).
Passo 6
Primeiro, encontramos as raízes da equação quadrática
lambda^2 - 12lambda + 35 = 0 para saber quando o denominador é zero:
Resolvendo a equação:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos analisar cada caso:
a) Sistema não admite solução.
Isso ocorre quando temos uma equação inconsistente, ou seja, uma equação do tipo
0 = c , onde
c neq 0 .
Isso acontece quando
lambda^2 - 12lambda + 35 = 0 e
mu + 11 neq 0 .
Portanto, os valores de
lambda são 5 e 7, e
mu neq -11 .
b) Sistema admite uma infinidade de soluções.
Isso ocorre quando temos uma equação redundante, ou seja, ambas as equações resultantes são equivalentes.
Isso acontece quando
lambda^2 - 12lambda + 35 = 0 e
mu + 11 = 0 .
Ou seja,
lambda = 5 ou
7 e
mu = -11 .
c) Sistema admite solução única.
Isso ocorre quando
lambda^2 - 12lambda + 35 neq 0 , ou seja,
lambda neq 5 e
lambda neq 7 .
d) Obtenha as soluções para esse sistema nas condições obtidas em (b).
Quando
lambda = 5 ou
7 e
mu = -11 , temos uma infinidade de soluções. Vamos encontrar essa solução.
Passo 8
Tomando
lambda = 5 e
mu = -11 :
Voltando à segunda equação simplificada:
Substituindo
lambda = 5 :
E da primeira equação:
Portanto, as soluções são:
O mesmo processo vale para
lambda = 7 e
mu = -11 .
Resposta
A) O sistema não admite solução quando
lambda = 5 ou
lambda = 7 e
mu neq -11 .
B) O sistema admite uma infinidade de soluções quando
lambda = 5 ou
lambda = 7 e
mu = -11 .
C) O sistema admite solução única para qualquer valor de
lambda diferente de 5 e 7.
D) Nas condições de infinitas soluções (
lambda = 5 ou
7 e
mu = -11 ), as soluções são dadas por: