Considure as requintes bases ordinadas de R^3 :
l B=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,0) C=(1,0,0),(0,5,1),(0,0,1)
Calcule MB^C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a matriz de mudança de base MB^C entre duas bases ordenadas B e C no espaço R^3 . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre mudança de bases e representações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra base e montar uma matriz com essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases B e C :
B = b1 = (1,1,1), b2 = (-1,1,0), b3 = (1,0,0)
C = c1 = (1,0,0), c2 = (0,5,1), c3 = (0,0,1)
Nosso objetivo é encontrar a matriz que transforma coordenadas na base B para coordenadas na base C .

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base MB^C , precisamos expressar cada vetor da base B como uma combinação linear dos vetores da base C . Ou seja, encontrar scalars a , b , e c tais que:
bi = a c1 + b c2 + c c3 para i = 1, 2, 3

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de [B), que é . Queremos encontrar tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Então, (\mathbf{b}_1 = 1 \mathbf{c}_1 + \frac{1}{5} \mathbf{c}_2 + \frac{4}{5} \mathbf{c}_3].

Passo 5

Agora, vamos para o segundo vetor de [B), . Queremos achar tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Então, (\mathbf{b}_2 = -1 \mathbf{c}_1 + \frac{1}{5} \mathbf{c}_2 - \frac{1}{5} \mathbf{c}_3].

Passo 6

Por último, vamos ao terceiro vetor de [B), . Queremos achar tais que:
Sistema de equações:
Resolvendo:
Então, (\mathbf{b}_3 = 1 \mathbf{c}_1 + 0 \mathbf{c}_2 + 0 \mathbf{c}_3].

Passo 7

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de B na base C , podemos montar a matriz MB^C . Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes que encontramos para b1 , b2 e b3 em termos de c1 , c2 e c3 .
MB^C = 1 & -1 & 1 15 & 15 & 0 45 & -15 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base MB^C é:
MB^C = 1 & -1 & 1 15 & 15 & 0 45 & -15 & 0

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