1. Encontre um vetor perpendicular ao plano dos pontos A(4,6,1), B(5,-3,4) e C(5,5,-2).

Passo 1

O enunciado dá três pontos A(4,6,1), B(5,-3,4) e C(5,5,-2) e pede um vetor perpendicular ao plano que passa por eles. Em geometria analítica espacial, um vetor normal a um plano pode ser obtido como produto vetorial de dois vetores não colineares contidos nesse plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores do plano, por exemplo AB e AC, calculando suas componentes a partir das coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (5-4,,-3-6,,4-1) = (1,-9,3)
AC = C - A = (5-4,,5-6,,-2-1) = (1,-1,-3)

Passo 3

Aplicamos a definição de produto vetorial em forma de determinante para obter um vetor perpendicular:
n = ABtimesAC = i & j & k 1 & -9 & 3 1 & -1 & -3
Calculando componentes:
nx = (-9)cdot(-3) - 3cdot(-1) = 27 + 3 = 30, ny = -l(1cdot(-3) - 3cdot1r) = -(-3 -3) = 6, nz = 1cdot(-1) - (-9)cdot1 = -1 +9 = 8
Logo
n = (30,,6,,8)

Passo 4

Podemos simplificar dividindo por 2, obtendo um vetor mais “pequeno” porém paralelo:
(30,6,8)div2 = (15,3,4)
Esse vetor também é normal ao plano.

Resposta

Um vetor perpendicular ao plano é (15,3,4).

Exercícios relacionados