Seja
um operador linear definido por
, para
em
. Mostre que
é injetora se, e somente se
for invertível.
Passo 1
O enunciado diz que temos o operador linear
dado por
, onde
é uma matriz
. Precisamos mostrar a equivalência
Vamos usar as definições:
-
é injetora se implica . -
é invertível se existe uma matriz tal que (ou equivalentemente ).
Passo 2
Suponha que
seja invertível. Então existe
de forma que
Para ver que
é injetora, tome
tais que
. Então
Logo
é injetora.
Passo 3
Agora suponha que
é injetora. Então seu núcleo é trivial, isto é,
Isso significa que a única solução de
é
, logo o posto de
é
. Como
é quadrada de posto máximo, temos
, ou seja,
é invertível.
Resposta
Mostramos que
invertível implica
injetora e que
injetora implica
, portanto
invertível. Assim,