Seja L: R^n R^n um operador linear definido por L(x)=A x, para x em R^n. Mostre que L é injetora se, e somente se A for invertível.

Passo 1

O enunciado diz que temos o operador linear Lcolon R^ntoR^n dado por L(x)=Ax, onde A é uma matriz ntimes n. Precisamos mostrar a equivalência
L é injetora Long<=ftrightarrow A é invertível ééí
Vamos usar as definições:
  • L é injetora se L(x)=L(y) implica x=y.
  • A é invertível se existe uma matriz B tal que BA=In (ou equivalentemente det Aneq0).

Passo 2

Suponha que A seja invertível. Então existe A^-1 de forma que
A^-1A = In
Para ver que L é injetora, tome x,yinR^n tais que L(x)=L(y). Então
Ax = Ay Longrightarrow A^-1(Ax)=A^-1(Ay) Longrightarrow x=y
Logo L é injetora.

Passo 3

Agora suponha que L é injetora. Então seu núcleo é trivial, isto é,
L(x)=0 Longrightarrow x=0 Longrightarrow Ax=0implies x=0
Isso significa que a única solução de Ax=0 é x=0, logo o posto de A é n. Como A é quadrada de posto máximo, temos det Aneq0, ou seja, A é invertível.

Resposta

Mostramos que A invertível implica L injetora e que L injetora implica det Aneq0, portanto A invertível. Assim,
L é injetora Long<=ftrightarrow A é invertível ééí

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