Considure as requintes bases ordinadas de R^3 :
l B=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,0) C=(1,0,0),(0,5,1),(0,0,1)
Encontre as coordenadas de V=(1,5,3) ma base C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre mudança de base em álgebra linear. A gente tem duas bases ordenadas de R^3, chamadas de B e C. O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor V = (1, 5, 3) na base C. Ou seja, queremos descobrir como escrever esse vetor V usando os vetores que formam a base C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base C é formada pelos vetores C1 = (1, 0, 0), C2 = (0, 5, 1) e C3 = (0, 0, 1).

Passo 3

Agora, para encontrar as coordenadas de V na base C, precisamos expressar V como uma combinação linear dos vetores da base C. Ou seja, queremos encontrar os escalares x, y e z tais que:
V = x cdot C1 + y cdot C2 + z cdot C3
Substituindo os valores dos vetores:
(1, 5, 3) = x cdot (1, 0, 0) + y cdot (0, 5, 1) + z cdot (0, 0, 1)

Passo 4

Vamos distribuir os escalares nos vetores e somar as componentes correspondentes:
(1, 5, 3) = (x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 0,; x cdot 0 + y cdot 5 + z cdot 0,; x cdot 0 + y cdot 1 + z cdot 1)
Simplificando:
(1, 5, 3) = (x, 5y, y + z)

Passo 5

Agora, vamos igualar as componentes de cada lado da equação:
  1. x = 1
  2. 5y = 5
  3. y + z = 3

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: x = 1
  2. Da segunda equação: 5y = 5 Rightarrow y = 1
  3. Da terceira equação: y + z = 3 Rightarrow 1 + z = 3 Rightarrow z = 2

Resposta

As coordenadas de V = (1, 5, 3) na base C são (1,; 1,; 2).

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