Considure as requintes bases ordinadas de
:
Encontre as coordenadas de
ma base
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre mudança de base em álgebra linear. A gente tem duas bases ordenadas de
, chamadas de
e
. O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor
na base
. Ou seja, queremos descobrir como escrever esse vetor
usando os vetores que formam a base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, a base
é formada pelos vetores
,
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar as coordenadas de
na base
, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar os escalares
,
e
tais que:
Substituindo os valores dos vetores:
Passo 4
Vamos distribuir os escalares nos vetores e somar as componentes correspondentes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos igualar as componentes de cada lado da equação:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Resposta
As coordenadas de
na base
são
.