QUESTÃO 2 (2,0 Pontos). Dados os pontos
e
e os vetores
e
, calcule os números
e
tais que
.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é achar três números
a1, a2, a3 tais que
Conteúdo: vetor em
R^3 , combinação linear e sistema linear.
Pra resolver a gente vai precisar de:
Pra resolver a gente vai precisar de:
- calcular o vetor
;AB - escrever a combinação linear de coordenadas;
- montar e resolver um sistema de 3 equações.
Passo 2
Primeiro, calcula
AB :
Isso vem da definição de subtração de vetores: a gente subtrai cada coordenada.
Passo 3
Agora escreve a equação vetor a vetor:
Passo 4
Para achar
a1,a2,a3 igualamos as três coordenadas e montamos o sistema:
- coordenada
:x
- coordenada
:y
- coordenada
:z
Passo 5
Vamos resolver por substituição:
Da eq. 3:a2 - a3 = 2 implies a2 = 2 + a3
Da eq. 2:a1 - a2 = 2 implies a1 = 2 + a2 = 2 + (2 + a3) = 4 + a3
Agora na eq. 1:
Da eq. 3:
Da eq. 2:
Agora na eq. 1:
Logo
2a3 = -2implies a3 = -1 .
Entãoa2 = 2 + (-1) = 1 e
a1 = 4 + (-1) = 3 .
Então