QUESTÃO 2 (2,0 Pontos). Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u=(-2,-1,1), v=(3,0,-1) e w= (-2,2,2), calcule os números a1, a2 e a3 tais que w=a1 A B+a2 u+a3 v.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar três números a1, a2, a3 tais que
vec w ;=; a1,AB ;+; a2,vec u ;+; a3,vec v
Conteúdo: vetor em R^3, combinação linear e sistema linear.
Pra resolver a gente vai precisar de:
  1. calcular o vetor AB;
  2. escrever a combinação linear de coordenadas;
  3. montar e resolver um sistema de 3 equações.

Passo 2

Primeiro, calcula AB:
AB ;=; B - A =;(1-0,;2-1,;-1-(-1)) =;(1,,1,,0)
Isso vem da definição de subtração de vetores: a gente subtrai cada coordenada.

Passo 3

Agora escreve a equação vetor a vetor:
(-2,2,2) ;=; a1,(1,1,0) ;+; a2,(-2,-1,1) ;+; a3,(3,0,-1)

Passo 4

Para achar a1,a2,a3 igualamos as três coordenadas e montamos o sistema:
  1. coordenada x:
-2 = a1 - 2a2 + 3a3
  1. coordenada y:
2 = a1 - a2 + 0,a3
  1. coordenada z:
2 = 0,a1 + a2 - a3

Passo 5

Vamos resolver por substituição:
Da eq. 3: a2 - a3 = 2 implies a2 = 2 + a3
Da eq. 2: a1 - a2 = 2 implies a1 = 2 + a2 = 2 + (2 + a3) = 4 + a3
Agora na eq. 1:
-2 = a1 - 2a2 + 3a3 = (4 + a3) - 2(2 + a3) + 3a3 = 4 + a3 - 4 - 2a3 + 3a3 = (a3 - 2a3 + 3a3) = 2a3
Logo 2a3 = -2implies a3 = -1.
Então a2 = 2 + (-1) = 1 e a1 = 4 + (-1) = 3.

Resposta

a1 = 3, a2 = 1, a3 = -1

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