A constante de estrutura fina, α, tem um papel especial na teoria da estrutura da matéria.
Para certa experiência de difração são necessários elétrons com o comprimento de onda de 0,45 nm . Calcule a velocidade dos elétrons.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade v de elétrons cuja comprimento de onda de Broglie é \lambda = 0,45\;\mathrm{nm}. O conteúdo aqui é a relação de de Broglie, que diz que
\lambda = \frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear do elétron.

Passo 2

Em regime não relativístico (válido pois veremos que v\ll c), o momento linear é p = m\,v, com m massa de repouso do elétron. Substituindo em \lambda = h/p obtemos
\lambda = \frac{h}{m\,v} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{h}{m\,\lambda}\,.

Passo 3

Agora substituímos valores numéricos:
h = 6,63\times10^{-34}\;\mathrm{J\cdot s}, \quad m = 9,11\times10^{-31}\;\mathrm{kg}, \quad \lambda = 0,45\times10^{-9}\;\mathrm{m}.

Passo 4

Calculando
v = \frac{6,63\times10^{-34}}{(9,11\times10^{-31})\,(0,45\times10^{-9})} \approx 1,62\times10^{6}\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Como v\approx1,6\times10^6\;\mathrm{m/s} é muito menor que a velocidade da luz \bigl(c\approx3,0\times10^8\;\mathrm{m/s}\bigr), a aproximação não relativística usada está justificada.

Resposta

v \approx 1,6\times10^6\;\mathrm{m/s}.

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