a) Le^t=1s-1 ; Le^a t
Se
Lf(t)=F(s)
e a>0 é uma constante, mostre que
Lf(a t)=1a F(sa)
Este resultado é conhecido como o teorema de mudança de escala. Use a transformada de Laplace dada e o resultado do Problema 55 para encontrar a transformada de Laplace indicada. Assuma que a e k são constantes positivas

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar
Le^a t
sabendo que
Le^t=1s-1
e usando o teorema de mudança de escala, que afirma: se
Lf(t)=F(s)
então, para constante a>0,
Lf(a t)=1a,F!l(sar)

Passo 2

Vamos demonstrar o teorema de mudança de escala. Por definição,
Lf(a t) =integral0^inftye^-s tf(a t),dt
Fazendo a troca de variável u=a,t, temos t=u/a e dt=du/a. Então
Lf(a t) =integral0^inftye^-s,(u/a),f(u),dua =1aintegral0^inftye^-(s/a),u,f(u),du =1a;F!l(sar)

Passo 3

Agora aplicamos ao caso f(t)=e^t. Sabemos que
Le^t=F(s)=1s-1.
Logo, pela fórmula de escala,
Le^a t =1a;F!l(sar) =1a;1sa-1 =1s-a,
com região de convergência Re(s)>a.

Resposta

Le^a t=1s-a, Re(s)>a

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