( 1,5 pontos) Qual é a área formada pela interseção de y=-13 x^2+3 e a reta y=x+3.
Boa prova!

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=-13x^2+3 (uma parábola) e y=x+3 (uma reta). Vamos usar geometria analítica para achar os pontos de interseção e depois calcular essa área pela integração da diferença das funções.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo -13x^2 +3 = x+3 . Subtraindo x+3 de ambos os lados, temos:

Passo 3

-tfrac13x^2 +3 - (x+3) = 0

Passo 4

que simplifica para

Passo 5

-tfrac13x^2 - x = 0

Passo 6

Multiplicando tudo por -3), obtemos

Passo 7

x^2 +3x = 0

Passo 8

que se fatoriza em x(x+3)=0. Então os pontos de interseção são x=0 e x=-3.

Passo 9

Agora, precisamos saber qual curva fica acima no intervalo [-3,0]. Tomando um ponto qualquer, por exemplo x=-1:

Passo 10

reta: y=-1+3=2, parábola: y=-tfrac13(1)+3=tfrac83approx2,67.

Passo 11

Como tfrac83>2, a parábola está acima da reta em todo o intervalo.

Passo 12

Então a área procurada é

Passo 13

integral-3^0l[(-tfrac13x^2+3)-(x+3)r],dx

Passo 14

Vamos simplificar o integrando:

Passo 15

(-tfrac13x^2+3)-(x+3) = -tfrac13x^2 - x

Passo 16

Montando a integral:

Passo 17

integral-3^0l(-tfrac13x^2 - xr)dx = integral-3^0-tfrac13x^2,dx - integral-3^0x,dx

Passo 18

Calculando as primitivas:

Passo 19

integral -tfrac13x^2,dx = -tfrac13cdottfracx^33 = -tfracx^39, integral x,dx = tfracx^22

Passo 20

Aplicando os limites de -3 a 0:

Passo 21

l(-tfracx^39 - tfracx^22r)|-3^0 = l(0 - 0r) - l(-tfrac(-3)^39 - tfrac(-3)^22r)

Passo 22

Dentro do parêntese de x=-3:

Passo 23

-tfrac(-27)9 - tfrac92 = 3 - tfrac92 = -tfrac32

Passo 24

Logo, a área é

Passo 25

0 - (-tfrac32) = tfrac32

Resposta

tfrac32

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