A constante de velocidade de uma certa reação de decomposição é de 2.50 \times 10^{3} \mathrm{~L} mol’s a 30^{\circ} \mathrm{C} e seis vezes maior a 50^{\circ} \mathrm{C}. Pode-se:
I) Estimar os parámetros de Arrhenius para este processo.
II) Estimar o lempo de meia-vida desla reação ocorrendo a 40^{\circ} \mathrm{C}, partindo-se de uma solução 0.125 moi L’ desta substância.

Passo 1

O enunciado diz que a reação de decomposição é de segunda ordem (pois k tem unidades de \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}) e fornece:
k_1=2,50\times10^3\:\mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}} a T_1=30^\circ\mathrm{C}=303\:\mathrm K
k_2=6\,k_1=1,50\times10^4\:\mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}} a T_2=50^\circ\mathrm{C}=323\:\mathrm K
Precisamos (I) estimar os parâmetros da equação de Arrhenius
k = A\,e^{-E_a/(R\,T)}
e (II) calcular a meia-vida \,t_{1/2} a 40^\circ\mathrm{C}=313\:\mathrm K para [A]_0=0,125\:\mathrm{mol\,L^{-1}}, usando
t_{1/2}=\frac{1}{k\,[A]_0}
para reação de segunda ordem.

Passo 2

Para encontrar E_a usamos
\ln\frac{k_2}{k_1} \;=\; -\frac{E_a}{R}\,\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr).
Substituindo R=8{,}314\:\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
\ln(6)=1{,}7918,\quad \frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{323}-\frac{1}{303}= -2,043\times10^{-4}\:\mathrm K^{-1},
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E_a = -\,\frac{(8{,}314)(1{,}7918)}{-2,043\times10^{-4}} \approx7,30\times10^4\:\mathrm{J\,mol^{-1}} =73\:\mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 3

Com E_a em mãos, achamos A a partir de
k_1 = A\,e^{-E_a/(R\,T_1)} \quad\Longrightarrow\quad A = k_1\,e^{E_a/(R\,T_1)}.
Calculando
\frac{E_a}{R\,T_1}=\frac{7,30\times10^4}{8{,}314\times303}\approx28{,}98,
A = 2,50\times10^3\;e^{28{,}98}\approx9,5\times10^{15}\:\mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.

Passo 4

Para T_3=313\:\mathrm K ( 40^\circ\mathrm C) aplicamos Arrhenius:
k_3 = A\,e^{-E_a/(R\,T_3)}.
Como
\frac{E_a}{R\,T_3}=\frac{7,30\times10^4}{8{,}314\times313}\approx28{,}05,
segue
k_3 = 9,5\times10^{15}\;e^{-28{,}05}\approx5,9\times10^3\:\mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.

Passo 5

Finalmente, como a reação é de segunda ordem, a meia-vida é
t_{1/2} = \frac{1}{k_3\,[A]_0} = \frac{1}{(5,9\times10^3)(0,125)} \approx1,3\times10^{-3}\:\mathrm{s}.

Resposta

I) E_a\approx73\:\mathrm{kJ\,mol^{-1}} e A\approx9,5\times10^{15}\:\mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.
II) t_{1/2} a 40^\circ\mathrm C com [A]_0=0,125\:\mathrm{mol\,L^{-1}} é aproximadamente 1,3\times10^{-3}\:\mathrm{s}.

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