A constante de velocidade da decomposição de certa substância é de 4,0 \times 10 \mathrm{Lmol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} a 30^{\circ} \mathrm{C}, e 2,0 \times 10^{-2} \mathrm{Lmol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} a 60^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a energia de ativação da reação.

Passo 1

O enunciado dá duas constantes de velocidade de uma reação de segunda ordem (unidades em \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}) a duas temperaturas diferentes e pede a energia de ativação, o que nos leva a usar a lei de Arrhenius:
k = A \exp\!\Bigl(-\frac{E_a}{R\,T}\Bigr).

Passo 2

Convertendo as temperaturas de Celsius para Kelvin:
T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 303\;\mathrm{K}, \quad T_2 = 60^\circ\mathrm{C} = 333\;\mathrm{K}.
Denotando
k_1 = 4,0\times 10^{-4}\;\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}, \quad k_2 = 2,0\times 10^{-2}\;\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}},
vemos que k cresce com T, conforme esperado.

Passo 3

Tomando o quociente das leis de Arrhenius e aplicando logaritmo natural, obtemos a forma linear
\ln\!\Bigl(\frac{k_2}{k_1}\Bigr) = \frac{E_a}{R}\,\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr).
Isolando E_a:
E_a = R\;\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr)}{\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}}.

Passo 4

Substituindo R=8{,}314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, k_1, k_2, T_1 e T_2:
\ln\!\Bigl(\frac{k_2}{k_1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{2,0\times10^{-2}}{4,0\times10^{-4}}\Bigr) = \ln(50) \approx 3{,}912,
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2} = \frac{1}{303}-\frac{1}{333} \approx 2{,}973\times10^{-4}\;\mathrm{K^{-1}},
E_a = 8{,}314\;\frac{3{,}912}{2{,}973\times10^{-4}} \approx 1,09\times10^{5}\;\mathrm{J/mol}.

Resposta

E_a \approx 1,10\times10^{5}\;\mathrm{J/mol} (ou 110\;\mathrm{kJ/mol}).

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