A constante de velocidade para a reação de segunda ordem em fase gasosa \mathrm{HO}+ \mathrm{H}_{2} \rightarrow \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+\mathrm{H} varia com a temperatura conforme os seguintes dados experimentais:
\mathrm{T} /{ }^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{K}, \mathrm{L} / \mathrm{mol} \mathrm{s}
100 1,1 \times 10^{-9}
200 1,8 \times 10^{-8}
300 1,2 \times 10^{-7}
400 4,4 \times 10^{-7}
Determine a energia de ativação.

Passo 1

O enunciado dá a constante de velocidade k para a reação de segunda ordem em fase gasosa
\mathrm{HO} + \mathrm{H}_{2} \to \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} + \mathrm{H}
em quatro temperaturas diferentes. Queremos encontrar a energia de ativação E_a usando a equação de Arrhenius, que relaciona k e T:
\ln(k) = \ln(A) - \frac{E_a}{R\,T}.
Nós vamos linearizar os dados montando \ln(k) versus 1/T e extrair o coeficiente angular, que é -E_a/R.

Passo 2

Primeiro convertemos as temperaturas de {}^\circ\mathrm{C} para kelvin e calculamos 1/T e \ln(k) para dois casos extremos ( 100\circC e 400\circC):
Para 100\\ ^\circ\mathrm{C}:
T_1 = 100 + 273 = 373\\ \mathrm{K}, \quad \frac{1}{T_1} = 2,68\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},
\ln(k_1) = \ln\bigl(1,1\times10^{-9}\bigr) = \ln(1,1) + \ln\bigl(10^{-9}\bigr) \approx 0,0953 - 9\cdot2,3026 \approx -20,63.
Para 400\\ ^\circ\mathrm{C}:
T_2 = 400 + 273 = 673\\ \mathrm{K}, \quad \frac{1}{T_2} = 1,49\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},
\ln(k_2) = \ln\bigl(4,4\times10^{-7}\bigr) = \ln(4,4) + \ln\bigl(10^{-7}\bigr) \approx 1,48 - 7\cdot2,3026 \approx -14,64.

Passo 3

Usamos a forma em duas temperaturas da equação de Arrhenius:
\ln\!\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr) = -\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr).
Calculamos cada termo:
\ln\!\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr) = -14,64 - (-20,63) = 5,99,
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} = 1,49\times10^{-3} - 2,68\times10^{-3} = -1,19\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Isolando E_a:
-\frac{E_a}{R} = \frac{\ln(k_2/k_1)}{\tfrac{1}{T_2}-\tfrac{1}{T_1}} \quad\Longrightarrow\quad E_a = -R \,\frac{\ln(k_2/k_1)}{\tfrac{1}{T_2}-\tfrac{1}{T_1}}.
Substituindo R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}:
E_a = -8{,}314\;\frac{5,99}{-1,19\times10^{-3}} \approx 8{,}314 \times 5{,}03\times10^{3} \approx 4,17\times10^{4}\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

Convertendo para \mathrm{kJ/mol}:
E_a \approx 41,7\\ \mathrm{kJ/mol}.

Resposta

A energia de ativação é aproximadamente 41,7\\ \mathrm{kJ/mol}.

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