A constante de velocidade da reação de segunda ordem A+2 B \rightarrow C+D é 0,21 \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. Qual é a concentração de C (a) 10 s e (b) 10 min depois de os reagentes se misturarem? As concentrações iniciais eram [A]=0,025 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e[B]=0,150 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a reação A+2B\rightarrow C+D e pede a concentração do produto C em dois instantes: (a) 10\\ \mathrm{s} e (b) 10\\ \mathrm{min}. As informações fornecidas são:
k = 0{,}21\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,s^{-1}},
[A]_0 = 0{,}025\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
[B]_0 = 0{,}150\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Queremos calcular [C](t) para t=10\\ \mathrm{s} e t=10\\ \mathrm{min}=600\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos definir as concentrações como funções do tempo:
a(t) \equiv [A],\qquad b(t)\equiv [B],\qquad c(t)\equiv [C].
Pelo balanceamento estequiométrico, consumindo uma unidade de A consomem-se duas de B. Portanto, se a_0=[A]_0 e b_0=[B]_0,
a_0-a(t)=\text{extensão da reação} \equiv x(t),ãçã
b(t)=b_0-2x(t)=b_0-2(a_0-a(t))=2a(t)+(b_0-2a_0).
Para simplificar, definimos a constante
K \equiv b_0-2a_0.
Além disso, a concentração de C formada é exatamente a extensão:
c(t)=x(t)=a_0-a(t).

Passo 3

O enunciado indica “reação de segunda ordem” com constante k de unidades \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}, então adotamos a lei de velocidade de segunda ordem simples
\text{velocidade} = k\,[A]\,[B] = k\,a(t)\,b(t).
A equação diferencial para a(t) é
-\frac{da}{dt}=k\,a\,(b)=k\,a\,(2a+K).
Separe variáveis:
\frac{da}{a(2a+K)}=-k\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados de t=0 (onde a=a_0) até tempo t (onde a=a). Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{a(2a+K)}=\frac{A}{a}+\frac{B}{2a+K}.
Multiplicando por a(2a+K) obtemos
1=A(2a+K)+B a=(2A+B)a + AK.
Igualando coeficientes:
2A+B=0,\qquad AK=1\\ \Rightarrow\\ A=\frac{1}{K},\\ B=-\frac{2}{K}.
Logo
\frac{1}{a(2a+K)}=\frac{1}{K}\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{2a+K}\right).
Integrando:
\int_{a_0}^{a}\frac{da}{a(2a+K)}=\frac{1}{K}\left[\ln a - \ln(2a+K)\right]_{a_0}^{a}=-k\int_{0}^{t}dt.
Isso leva a
\frac{1}{K}\ln\!\left(\frac{a/(2a+K)}{a_0/(2a_0+K)}\right)=-k t.
Observe que 2a_0+K=b_0 e 2a+K=b(t). Multiplicando por K e rearranjando:
\ln\!\left(\frac{a\,b_0}{a_0\,b(t)}\right)=-kK t.

Passo 5

Da expressão anterior obtemos
\frac{a}{b(t)}=\frac{a_0}{b_0}\,e^{-kK t}.
Mas b(t)=2a+K. Defina
R(t)\equiv\frac{a_0}{b_0}\,e^{-kK t}.
Então
\frac{a}{2a+K}=R \quad\Rightarrow\quad a=R(2a+K).
Isolando a:
a(1-2R)=R K \quad\Rightarrow\quad a(t)=\frac{R K}{1-2R}.
Finalmente a concentração de C é
c(t)=a_0-a(t)=a_0-\frac{R K}{1-2R},
com R(t)=\dfrac{a_0}{b_0}e^{-kK t} e K=b_0-2a_0.

Passo 6

Agora substituímos os números. Primeiro calculemos K:
K=b_0-2a_0=0{,}150-2(0{,}025)=0{,}100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
O quociente inicial é
\frac{a_0}{b_0}=\frac{0{,}025}{0{,}150}=\frac{1}{6}\approx0{,}1666667.
Para t=10\\ \mathrm{s}:
-kK t=-0{,}21\times0{,}100\times10=-0{,}21,
e^{-kK t}=e^{-0{,}21}\approx0{,}810584,
R(10)=\frac{1}{6}\,e^{-0{,}21}\approx0{,}1666667\times0{,}810584\approx0{,}1350973.
Então
a(10)=\frac{K\,R}{1-2R}=\frac{0{,}100\times0{,}1350973}{1-2(0{,}1350973)} =\frac{0{,}01350973}{0{,}7298054}\approx0{,}01852\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Logo
c(10)=a_0-a(10)=0{,}025-0{,}01852=0{,}00648\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 7

Para t=10\\ \mathrm{min}=600\\ \mathrm{s}:
-kK t=-0{,}21\times0{,}100\times600=-12{,}6,
e^{-12{,}6}\approx3{,}37\times10^{-6},
R(600)=\frac{1}{6}\,e^{-12{,}6}\approx5{,}62\times10^{-7}.
Então
a(600)=\frac{0{,}100\times5{,}62\times10^{-7}}{1-2(5{,}62\times10^{-7})}\approx5{,}62\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Isso é negligenciável em relação a a_0, portanto
c(600)=a_0-a(600)\approx0{,}025-5{,}62\times10^{-8}\approx0{,}0250\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Resposta

(a) [C](10\\ \mathrm{s}) = 0{,}00648\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
(b) [C](10\\ \mathrm{min}) \approx 0{,}0250\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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