Mostre que numa reação de ordem n em A se obtém t_{1 / 2} \propto 1 /[A]_{0}^{n-1}.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que, para uma reação de ordem n em A, o tempo de meia-vida t_{1/2} satisfaz uma relação de proporcionalidade
t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0^{\,n-1}}.
Informações dadas e definições que vamos usar:
[A](t)
é a concentração de A no tempo t.
[A]_0 é a concentração inicial, isto é [A](0) = [A]_0.
O tempo de meia-vida t_{1/2} é o tempo para que [A] caia a metade de [A]_0, ou seja [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}.
A lei de velocidade para uma reação de ordem n em A é dada por
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^n,
onde k é a constante de velocidade (positiva).
A resolução começa a seguir a partir dessa equação diferencial.

Passo 2

Escrevendo de forma explícita a equação diferencial e explicando separação de variáveis:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^n.
Aqui d[A]/dt é a taxa de variação da concentração em função do tempo; o sinal negativo indica que [A] diminui.
Vamos separar variáveis para integrar: colocamos todos os termos com [A] num lado e dt no outro. Ficamos com
\frac{d[A]}{[A]^n} = -k\,dt.
Isso é válido para n qualquer; apenas devemos tratar depois o caso n=1 separadamente porque a integral assume forma diferente.

Passo 3

Integrando ambos os lados entre os limites apropriados e explicando a integral de potência:
Integramos a partir de t=0 até t=t e de [A]=[A]_0 até [A]=[A](t):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]^n} = -k \int_{0}^{t} dt.
A integral à esquerda é uma integral de potência. Para n\neq 1 vale a fórmula
\int x^{-n}\,dx = \frac{x^{\,1-n}}{1-n} + C.
Aplicando essa fórmula obtemos a integral definida:
\left.\frac{[A]^{\,1-n}}{1-n}\right|_{[A]_0}^{[A](t)} = -k t.

Passo 4

Avaliar a diferença da integral definida e reorganizar:
A diferença dá
\frac{[A](t)^{\,1-n} - [A]_0^{\,1-n}}{1-n} = -k t.
Multiplicando ambos os lados por 1-n (note que isso muda sinais se n>1, mas é apenas álgebra) obtemos
[A](t)^{\,1-n} - [A]_0^{\,1-n} = -(1-n)k t.
Reescrevendo de modo mais conveniente:
[A](t)^{\,1-n} = [A]_0^{\,1-n} - (1-n)k t.

Passo 5

Agora impomos a condição de meia-vida [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2} e substituímos na expressão integrada:
\left(\frac{[A]_0}{2}\right)^{1-n} = [A]_0^{\,1-n} - (1-n)k\,t_{1/2}.
Explico a manipulação da potência:
\left(\frac{[A]_0}{2}\right)^{1-n} = [A]_0^{\,1-n}\left(\frac{1}{2}\right)^{1-n} = [A]_0^{\,1-n}\,2^{\,n-1}.
Substituindo isso na equação anterior:
[A]_0^{\,1-n}\,2^{\,n-1} = [A]_0^{\,1-n} - (1-n)k\,t_{1/2}.

Passo 6

Isolando t_{1/2} e simplificando fatores comuns:
Subtraindo [A]_0^{\,1-n} dos dois lados:
[A]_0^{\,1-n}\bigl(2^{\,n-1} - 1\bigr) = -(1-n)k\,t_{1/2}.
Note que -(1-n) = n-1. Portanto
t_{1/2} = \frac{[A]_0^{\,1-n}\bigl(2^{\,n-1}-1\bigr)}{k(n-1)}.
Isso é a expressão fechada para t_{1/2} quando n\neq 1.

Passo 7

Concluindo a proporcionalidade pedida e comentando o caso n=1:
Da expressão encontrada vemos que t_{1/2} é igual a uma constante (que depende de n e de k) multiplicada por [A]_0^{\,1-n}. Escrevendo a dependência em potência de [A]_0 obtemos
t_{1/2} \propto [A]_0^{\,1-n} = \frac{1}{[A]_0^{\,n-1}}.
Isso é exatamente o que queríamos mostrar.
Para completar: quando n=1 a integral feita no Passo 3 usa \int \frac{d[A]}{[A]} = \ln[A] e conduz a
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},
isto é, para n=1 a meia-vida é independente de [A]_0.
Exemplo concreto: para n=2 (segunda ordem) a fórmula dá
t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}
o que mostra a dependência inversa simples em [A]_0.

Resposta

t_{1/2} = \frac{[A]_0^{\,1-n}\bigl(2^{\,n-1}-1\bigr)}{k(n-1)}\quad (n\neq 1)
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}\quad (n=1)

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