Mostre que numa reação de ordem n em A se obtém t_{1 / 2} \propto 1 /[A]_{0}^{n-1}.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que, para uma reação de ordem n em A, o tempo de meia-vida t_{1/2} satisfaz uma relação de proporcionalidade
t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0^{\,n-1}}.
Informações dadas e definições que vamos usar:
[A](t)
é a concentração de A no tempo t. [A]_0 é a concentração inicial, isto é [A](0) = [A]_0.
O tempo de meia-vida t_{1/2} é o tempo para que [A] caia a metade de [A]_0, ou seja [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}.
A lei de velocidade para uma reação de ordem n em A é dada por
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^n,
onde k é a constante de velocidade (positiva).
A resolução começa a seguir a partir dessa equação diferencial.
Passo 2
Escrevendo de forma explícita a equação diferencial e explicando separação de variáveis:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^n.
Aqui d[A]/dt é a taxa de variação da concentração em função do tempo; o sinal negativo indica que [A] diminui.
Vamos separar variáveis para integrar: colocamos todos os termos com [A] num lado e dt no outro. Ficamos com
\frac{d[A]}{[A]^n} = -k\,dt.
Isso é válido para n qualquer; apenas devemos tratar depois o caso n=1 separadamente porque a integral assume forma diferente.
Passo 3
Integrando ambos os lados entre os limites apropriados e explicando a integral de potência:
Integramos a partir de t=0 até t=t e de [A]=[A]_0 até [A]=[A](t):
Isso é a expressão fechada para t_{1/2} quando n\neq 1.
Passo 7
Concluindo a proporcionalidade pedida e comentando o caso n=1:
Da expressão encontrada vemos que t_{1/2} é igual a uma constante (que depende de n e de k) multiplicada por [A]_0^{\,1-n}. Escrevendo a dependência em potência de [A]_0 obtemos