Construa uma base ortonormal dos conjuntos de vetores abaixo (Use o processo de Gram-Schmidt)
(b) (r-1 0 11),(r7 -20 -29),(r1 -5 1)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto
v1=(-1,0,11),;v2=(7,-20,-29),;v3=(1,-5,1)
para obter uma base ortonormal do subespaço que eles geram. Vamos usar produtos internos usuais em R^3, projeções e normalizações.

Passo 2

Definimos
u1=v1=(-1,0,11)
O seu comprimento é
|u1|=raiz(-1)^2+0^2+11^2=raiz122
Logo o primeiro vetor unitário é
e1=u1|u1| =(-1,0,11)raiz122

Passo 3

Agora calculamos
u2 =v2-proju1(v2) =v2-lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Aqui
lang<= v2,u1rang<==7cdot(-1)+(-20)cdot0+(-29)cdot11=-326
e lang<= u1,u1rang<==122.
Então
proju1(v2) =-326122,(-1,0,11) =l(tfrac16361,0,-tfrac179361r),
e
u2 =(7,-20,-29) -l(tfrac16361,0,-tfrac179361r) =l(tfrac26461,-tfrac122061,tfrac2461r)
Note que ,(264,, -1220,,24)=4,(66,-305,6), então podemos tomar
u2=(66,-305,6)
(é só um múltiplo de u2, serve para Gram–Schmidt). Calculamos seu comprimento:
|u2|=raiz66^2+(-305)^2+6^2 =raiz97417
O segundo vetor ortonormal é
e2=u2|u2| =(66,-305,6)raiz97417

Passo 4

Finalmente
u3 =v3 -proju1(v3) -proju2(v3)
Calcula-se
lang<= v3,u1rang<==10,
lang<= u1,u1rang<==122,
lang<= v3,u2rang<==1597,
lang<= u2,u2rang<==97417.
Depois de subtrair as projeções, aparece
u3=(0,0,0),
o que mostra dependência linear: não há vetor novo.

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado pelos três vetores é
e1=(-1,0,11)raiz122, e2=(66,-305,6)raiz97417

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