Em qual dos sistemas lineares abaixo (nas variáveis e ) o conjunto-solução tem dimensão 1 ?
(A) 1.
(B) 2 x+6 y+5 z & =1, 8 y+3 z & =9, z & =7
( r 2 x+6 y+5 z=1, -8 x-24 y-20 z=-4, 8 y+3 z=9
(D) r-10 x-30 y-25 z=-5, 10 x+30 y+25 z=5-1
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta quatro sistemas lineares em três incógnitas (x,y,z) e pede em qual deles o conjunto-solução tem dimensão 1, ou seja, forma uma reta. Em geral, para um sistema linear com n incógnitas e posto (rank) igual a r, a dimensão do espaço solução é
n - r
Aqui n=3. Logo, queremos o caso em que o posto do sistema seja r=2.
Passo 2
Analisando o sistema (A):
-30x -25y -5z = -10, 30x +25y +5z = 10
Note que a segunda equação é -1 vezes a primeira; elas são dependentes. O posto é r=1 e a dimensão da solução é 3-1=2. Não é o que queremos.
Passo 3
Analisando o sistema (B):
2x +6y +5z &=1, 8y +3z &=9, z &=7
Aqui temos três equações independentes que fixam z, depois y e depois x. Portanto o posto é r=3 e a solução é única (dimensão 3-3=0). Também não é o caso.
Passo 4
Analisando o sistema (C):
2x+6y+5z=1, -8x-24y-20z=-4, 8y+3z=9
A segunda equação é -4 vezes a primeira, portanto é redundante. Sobram duas equações independentes:
2x+6y+5z=1, 8y+3z=9,
logo o posto é r=2 e a dimensão da solução é 3-2=1. É o que queremos.
Passo 5
Analisando o sistema (D):
-10x-30y-25z=-5, 10x+30y+25z=5
De novo, uma equação é -1 vezes a outra, posto r=1 e dimensão 3-1=2. Não serve.