Responda se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira e justifique sua resposta:
(A B)^-1=B^-1 cdot A^-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade (Acdot B)^-1 = B^-1cdot A^-1. O conteúdo da matéria é a definição de matriz inversa e propriedades da multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos mostrar que B^-1A^-1 é de fato a inversa de A B.

Passo 2

Calculemos o produto à direita de A B por B^-1A^-1:
(AB)(B^-1A^-1) = Al(BB^-1r)A^-1 = A,I,A^-1 = A,A^-1 = I

Passo 3

Agora calculemos o produto à esquerda de A B por B^-1A^-1:
(B^-1A^-1)(AB) = B^-1l(A^-1Ar)B = B^-1,I,B = B^-1B = I

Passo 4

Como (AB)(B^-1A^-1)=I e (B^-1A^-1)(AB)=I, pela definição de inversa segue que
(AB)^-1 = B^-1A^-1

Resposta

Verdadeira.

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