Determine se o conjunto de vetores dado é linearmente dependente ou independente.
h. Em M22,(rr1 & -1 0 & 6),(rr-1 & 0 3 & 1),(rr1 & 1 -1 & 2),(ll0 & 1 1 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de matrizes
A1=1 & -10 & 6,; A2=-1 & 03 & 1,; A3=1 & 1-1 & 2,; A4=0 & 11 & 0
em M2times2 é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar o teste padrão: montamos a combinação linear
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0
e estudamos se a única solução é c1=c2=c3=c4=0.

Passo 2

Igualando a combinação linear à matriz nula e comparando entrada a entrada, obtemos o sistema
c1 - c2 + c3 = 0, -,c1 ;+;c3 ;+;c4 = 0, 3,c2 - c3 + c4 = 0, 6,c1 + c2 + 2,c3 = 0,

Passo 3

Da primeira equação segue
c1 = c2 - c3
Substituindo em 6,c1 + c2 + 2,c3 = 0 obtém-se
7,c2 -4,c3 = 0
implies c2 = tfrac47,c3, c1 = -tfrac37,c3
Agora, usando -c1 + c3 + c4 = 0, temos
c4 = -tfrac107,c3
Por fim, na terceira equação
3,c2 - c3 + c4 = 0
substituímos c2 e c4 em função de c3:
-tfrac57,c3 = 0 implies c3 = 0
Então c1=c2=c4=0 também.

Passo 4

Como a única solução do sistema é c1=c2=c3=c4=0, concluímos que os quatro vetores (matrizes) são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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