Construa uma bijeção f entre os conjuntos N dos naturais e Z dos inteiros (demonstrando, dessa forma, que Z é enumerável).

Passo 1

Nesse exercício queremos construir uma bijeção f entre os naturais N e os inteiros Z, mostrando assim que Z é enumerável. O que vamos precisar: entender o conceito de bijeção (injeção + sobrejeção) e encontrar uma forma sistemática de listar todos os inteiros a partir dos naturais.

Passo 2

Uma forma clássica é intercalar inteiros não negativos e negativos usando a paridade de ninN. Vamos definir f de modo que números pares mapeiem para >=0 e ímpares para <0.

Passo 3

Definimos a função f por

Passo 4

f(n)= tfracn2, & se (n) é par, -tfracn+12, & se (n) é ímpar ééí

Passo 5

Mostramos injetividade. Suponha f(n)=f(m). Se esse valor for >=0, então tanto n quanto m são pares e temos n/2=m/2, logo n=m. Se for <0, ambos são ímpares e -(n+1)/2=-(m+1)/2 implica n=m. Assim, f é injetora.

Passo 6

Mostramos sobrejeção. Dado zinZ: se z>=0, escreva z=k e escolha n=2k, pois f(2k)=k=z. Se z<0, escreva z=-k com k>0 e escolha n=2k-1, pois f(2k-1)=-( (2k-1)+1)/2=-k=z. Então todo inteiro tem um pré-imagem em N.

Passo 7

Como f é injetora e sobrejetora, é bijetora, o que prova que Z é enumerável.

Resposta

f(n)= tfracn2, & se (n) é par, -tfracn+12, & se (n) é ímpar ééí

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