Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
tá indo para
. O assunto aqui é cálculo de limites multivariáveis, e vamos precisar usar a série de Taylor para resolver isso. Basicamente, vamos expandir a função exponencial e simplificar pra achar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar direitinho a função que a gente quer o limite:
Queremos descobrir qual é o valor dessa expressão quando
está chegando mais e mais perto de
.
Passo 3
Para facilitar a vida, vamos fazer uma troca de variável. Vamos chamar
de
. Assim, quando
vai para
,
vai para 0. A nossa expressão fica então:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da série de Taylor do
em torno de
. A série é:
Isso quer dizer que a gente pode escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 5
Substituindo a série de Taylor na nossa expressão do limite, temos:
Agora, vamos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 6
Agora, vamos observar o que acontece quando
se aproxima de 0. Os termos que contêm
ou potências dele vão para 0. Então, o que sobra mesmo é:
Resposta
O limite é
.