Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) e^-(x^2+y^2)-1x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) tá indo para (0,0). O assunto aqui é cálculo de limites multivariáveis, e vamos precisar usar a série de Taylor para resolver isso. Basicamente, vamos expandir a função exponencial e simplificar pra achar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar direitinho a função que a gente quer o limite:
e^-(x^2+y^2) - 1x^2 + y^2
Queremos descobrir qual é o valor dessa expressão quando (x, y) está chegando mais e mais perto de (0,0).

Passo 3

Para facilitar a vida, vamos fazer uma troca de variável. Vamos chamar u de x^2 + y^2. Assim, quando (x, y) vai para (0,0), u vai para 0. A nossa expressão fica então:
limu 0 e^-u - 1u

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série de Taylor do e^-u em torno de u = 0. A série é:
e^-u = 1 - u + u^22 - u^36 + cdots
Isso quer dizer que a gente pode escrever e^-u como uma soma infinita de termos envolvendo potências de u.

Passo 5

Substituindo a série de Taylor na nossa expressão do limite, temos:
(1 - u + u^22 - cdots) - 1u = -u + u^22 - cdotsu
Agora, vamos dividir cada termo do numerador por u:
-1 + u2 - cdots

Passo 6

Agora, vamos observar o que acontece quando u se aproxima de 0. Os termos que contêm u ou potências dele vão para 0. Então, o que sobra mesmo é:
-1

Resposta

O limite é -1.

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