(
ponto) Verificar se
testando os seguintes caminhos:
C1: eixo x
C2: retas lineares
C3: arco de parábola
C2: retas lineares
C3: arco de parábola
Passo 1
No enunciado, queremos estudar o limite de
quando
, usando caminhos C1 (eixo x), C2 (retas
) e C3 (arco de parábola
). O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e teste de existência por diferentes trajetórias.
Passo 2
Para C1 (eixo x), fazemos
. Então temos
. Logo o limite ao longo do eixo x é 0.
Passo 3
Para C2 (reta
), substituímos em
:
Quando
, isso tende a 0. Então o limite ao longo de qualquer reta
também é 0.
Passo 4
Para C3 (arco de parábola
), com
, substituímos:
Esse valor independe de
(desde que
), então o limite neste caminho é
.
Passo 5
Observamos que em C1 e C2 o limite é 0, enquanto em C3 o limite é
, ou seja, obtemos valores diferentes. Caso o limite existisse, todos os caminhos deveriam levar ao mesmo valor.
Resposta
O limite não existe, pois pelos diferentes caminhos obtemos valores distintos (0 e 1/2).