( 1 , 0 ponto) Verificar se lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^4 testando os seguintes caminhos:
C1: eixo x
C2: retas lineares y=mx
C3: arco de parábola y=raizx

Passo 1

No enunciado, queremos estudar o limite de x y^2x^2 + y^4 quando (x,y)to(0,0), usando caminhos C1 (eixo x), C2 (retas y=mx) e C3 (arco de parábola y=raizx). O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e teste de existência por diferentes trajetórias.

Passo 2

Para C1 (eixo x), fazemos y=0. Então temos xcdot0^2x^2+0^4=0. Logo o limite ao longo do eixo x é 0.

Passo 3

Para C2 (reta y=mx), substituímos em x y^2x^2+y^4:
x (mx)^2x^2 + (mx)^4 = m^2 x^3x^2 + m^4 x^4 = m^2 x1 + m^4 x^2
Quando xto0, isso tende a 0. Então o limite ao longo de qualquer reta y=mx também é 0.

Passo 4

Para C3 (arco de parábola y=raizx), com x>=0, substituímos:
x (raizx)^2x^2 + (raizx)^4 = x^2x^2 + x^2 = x^22x^2 = tfrac12
Esse valor independe de x (desde que x>0), então o limite neste caminho é tfrac12.

Passo 5

Observamos que em C1 e C2 o limite é 0, enquanto em C3 o limite é tfrac12, ou seja, obtemos valores diferentes. Caso o limite existisse, todos os caminhos deveriam levar ao mesmo valor.

Resposta

O limite não existe, pois pelos diferentes caminhos obtemos valores distintos (0 e 1/2).

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