Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=x y1+e^x-y

Passo 1

O enunciado pede o maior conjunto em que a função
f(x,y)=x,y1+e^x-y
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis e o fato de que quociente de duas funções contínuas é contínuo desde que o denominador não se anule.

Passo 2

Precisamos primeiro achar o domínio de f, isto é, o conjunto de todos os pares (x,y) em que a expressão está bem definida. O numerador x,y está definido para todo (x,y)inR^2 e a exponencial e^x-y também. O denominador é
1+e^x-y
Como e^x-y>0 para todo (x,y), segue que
1+e^x-y>1>0
e, portanto, o denominador nunca se anula. Logo o domínio de f é todo R^2.

Passo 3

Sabendo que em R^2 as funções (x,y)mapsto x,y e (x,y)mapsto 1+e^x-y são contínuas e que o denominador não zera em nenhum ponto, concluímos que o quociente também é contínuo em todo o domínio.

Resposta

O maior conjunto em que f é contínua é R^2.

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