Construa um conjunto de dados no qual a mediana e a moda são as mesmas.

Passo 1

O que o enunciado pede: construir um conjunto de dados (uma lista de valores) tal que a mediana e a moda sejam iguais.
Informações dadas: não há restrição adicional (tamanho do conjunto, tipo de números, etc.).
O objetivo concreto aqui é fornecer um exemplo explícito de conjunto de dados e mostrar passo a passo como verificar que nele a mediana e a moda coincidem.

Passo 2

Definições e fórmulas necessárias (explicação didática):
  • Moda: a moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Pode haver uma única moda (unimodal), várias modas (multimodal) ou nenhuma moda bem definida se todos aparecem com a mesma frequência.
  • Mediana: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Mais precisamente:
    • Se a amostra tiver n elementos com n ímpar, a mediana é o elemento na posição \dfrac{n+1}{2} da lista ordenada.
    • Se a amostra tiver n elementos com n par, a mediana é a média aritmética dos elementos nas posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1 da lista ordenada.
Exemplo curto para fixar: para o conjunto ordenado \{1,2,3\} temos n=3 ímpar, posição da mediana \dfrac{3+1}{2}=2, então a mediana é 2. Para \{1,2,3,4\} com n=4 par, posições centrais são 2 e 3, mediana é \dfrac{2+3}{2}=2,5.

Passo 3

Estratégia para construir um conjunto com mediana = moda (explicação prática e intuitiva):
  • Jeito fácil 1 (n ímpar): escolher um valor m e construir um conjunto com número ímpar de elementos de modo que o elemento central seja precisamente m e m seja o valor que ocorre mais vezes. Assim a mediana (centro) será m e a moda também será m.
  • Jeito fácil 2 (n par): garantir que os dois elementos centrais sejam iguais a m. Então a mediana, sendo a média desses dois iguais, será m; se m também for o mais frequente, é moda.
  • Observação sobre multimodalidade: se houver mais de uma moda (por exemplo 1 e 2 ocorrem ambos com maior frequência), é preciso que a mediana coincida com pelo menos uma dessas modas para considerarmos que mediana e moda “são as mesmas” — mas para evitar ambiguidade é melhor construir um conjunto unimodal com moda única.

Passo 4

Construção concreta — exemplo com n ímpar (mais didático):
Escolho o valor m=2 e monto o conjunto
\{1,2,2,3,4\}.
Verificação passo a passo:
  • Ordenado já está: \{1,2,2,3,4\}.
  • Tamanho n=5 (ímpar), posição da mediana \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3. O 3.º elemento é 2. Logo a mediana é 2.
  • Frequências: 1 aparece uma vez, 2 aparece duas vezes, 3 uma vez, 4 uma vez. O valor com maior frequência é 2. Logo a moda é 2.
    Conclusão: mediana =2 e moda =2. Portanto nesse conjunto mediana e moda coincidem.

Passo 5

Construção alternativa — exemplo com n par:
Escolho o valor m=2 e monto o conjunto
\{1,2,2,2,3,4\}.
Verificação:
  • Ordenado já está: \{1,2,2,2,3,4\}.
  • Tamanho n=6 (par), posições centrais são \dfrac{n}{2}=3 e \dfrac{n}{2}+1=4. O 3.º e o 4.º elementos são ambos 2. A mediana é \dfrac{2+2}{2}=2.
  • Frequências: 2 aparece três vezes (mais que qualquer outro), logo moda =2.
    Conclusão: mediana =2 e moda =2 também neste caso.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como construir rápido se pedirem no exame):
  • Para garantir igualdade sem erro, escolha um m e faça uma lista com número ímpar de elementos e coloque m repetido pelo menos duas vezes e posicione outros valores à esquerda e à direita de modo que o elemento central seja m.
  • Se quiser usar n par, assegure que os dois valores centrais sejam ambos m.
  • Exemplos rápidos e fáceis de decorar: \{1,2,2,3,4\} (já visto) ou \{2,2,2\} (mediana e moda ambos 2).

Resposta

\{1,2,2,3,4\}

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