Construa um conjunto de dados no qual a mediana e a moda são as mesmas.
Passo 1
O que o enunciado pede: construir um conjunto de dados (uma lista de valores) tal que a mediana e a moda sejam iguais.
Informações dadas: não há restrição adicional (tamanho do conjunto, tipo de números, etc.).
O objetivo concreto aqui é fornecer um exemplo explícito de conjunto de dados e mostrar passo a passo como verificar que nele a mediana e a moda coincidem.
Informações dadas: não há restrição adicional (tamanho do conjunto, tipo de números, etc.).
O objetivo concreto aqui é fornecer um exemplo explícito de conjunto de dados e mostrar passo a passo como verificar que nele a mediana e a moda coincidem.
Passo 2
Definições e fórmulas necessárias (explicação didática):
- Moda: a moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Pode haver uma única moda (unimodal), várias modas (multimodal) ou nenhuma moda bem definida se todos aparecem com a mesma frequência.
- Mediana: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Mais precisamente:
- Se a amostra tiver
elementos com ímpar, a mediana é o elemento na posição da lista ordenada. - Se a amostra tiver
elementos com par, a mediana é a média aritmética dos elementos nas posições e da lista ordenada.
- Se a amostra tiver
Exemplo curto para fixar: para o conjunto ordenado
temos
ímpar, posição da mediana
, então a mediana é
. Para
com
par, posições centrais são
e
, mediana é
.
Passo 3
Estratégia para construir um conjunto com mediana = moda (explicação prática e intuitiva):
- Jeito fácil 1 (n ímpar): escolher um valor
e construir um conjunto com número ímpar de elementos de modo que o elemento central seja precisamente e seja o valor que ocorre mais vezes. Assim a mediana (centro) será e a moda também será . - Jeito fácil 2 (n par): garantir que os dois elementos centrais sejam iguais a
. Então a mediana, sendo a média desses dois iguais, será ; se também for o mais frequente, é moda. - Observação sobre multimodalidade: se houver mais de uma moda (por exemplo
e ocorrem ambos com maior frequência), é preciso que a mediana coincida com pelo menos uma dessas modas para considerarmos que mediana e moda “são as mesmas” — mas para evitar ambiguidade é melhor construir um conjunto unimodal com moda única.
Passo 4
Construção concreta — exemplo com
ímpar (mais didático):
Escolho o valor e monto o conjunto
.
Verificação passo a passo:
Escolho o valor
Verificação passo a passo:
- Ordenado já está:
. - Tamanho
(ímpar), posição da mediana . O 3.º elemento é . Logo a mediana é . - Frequências:
aparece uma vez, aparece duas vezes, uma vez, uma vez. O valor com maior frequência é . Logo a moda é .
Conclusão: medianae moda . Portanto nesse conjunto mediana e moda coincidem.
Passo 5
Construção alternativa — exemplo com
par:
Escolho o valor e monto o conjunto
.
Verificação:
Escolho o valor
Verificação:
- Ordenado já está:
. - Tamanho
(par), posições centrais são e . O 3.º e o 4.º elementos são ambos . A mediana é . - Frequências:
aparece três vezes (mais que qualquer outro), logo moda .
Conclusão: medianae moda também neste caso.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (como construir rápido se pedirem no exame):
- Para garantir igualdade sem erro, escolha um
e faça uma lista com número ímpar de elementos e coloque repetido pelo menos duas vezes e posicione outros valores à esquerda e à direita de modo que o elemento central seja . - Se quiser usar
par, assegure que os dois valores centrais sejam ambos . - Exemplos rápidos e fáceis de decorar:
(já visto) ou (mediana e moda ambos ).