Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Educação: O custo da educação por aluno (em milhares de dólares) em uma amostra de 10 faculdades de arte.
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (custos por aluno, em milhares de dólares): 30,\;35,\;19,\;22,\;22,\;20,\;23,\;21,\;35,\;25.
Tamanho da amostra: n=10.
O enunciado pede:
Encontrar a média (valor médio) dos dados.
Encontrar a mediana (valor que divide os dados ao meio).
Encontrar a moda (valor(s) mais frequente(s)).
Observação: se alguma medida não puder ser encontrada ou não representar bem o centro dos dados, explicar o porquê.
Passo 2
Definição e cálculo da média aritmética (explicação didática).
O que é a média aritmética? É a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Serve para dar uma ideia do “centro” dos dados considerando todos os valores.
Fórmula: \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde x_i são os valores amostrados e n é o número de observações.
Aqui n=10 e os x_i são os 10 valores dados. Vou somar os valores passo a passo (cada operação em TeX):
19+20=39,
39+21=60,
60+22=82,
82+22=104,
104+23=127,
127+25=152,
152+30=182,
182+35=217,
217+35=252.
Portanto a soma total é \sum_{i=1}^{10} x_i=252.
Passo 3
Calcular a média com a soma encontrada.
Aplicando a fórmula:
\overline{x}=\frac{252}{10}=25{,}2.
Interpretação breve: a média é 25{,}2 (milhares de dólares por aluno). A média usa todos os dados, então é sensível a valores extremos (outliers).
Passo 4
Definição e cálculo da mediana (explicação didática).
O que é a mediana? É o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados. Para n ímpar é o valor central; para n par é a média aritmética dos dois valores centrais.
Passo 1 para a mediana: ordenar os dados em ordem crescente. Os dados ordenados são:
19,\;20,\;21,\;22,\;22,\;23,\;25,\;30,\;35,\;35.
Como n=10 é par, os índices centrais são o 5^\text{o} e o 6^\text{o} valores (na ordenação). Aqui:
Interpretação breve: a mediana é 22{,}5 (milhares de dólares). Ela não é afetada por valores extremos tanto quanto a média.
Passo 5
Definição e cálculo da moda (explicação didática).
O que é a moda? É o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência na amostra. Pode não existir (se todos aparecem uma vez), pode ser única (unimodal), dupla (bimodal) ou multimodal.
Contagem das frequências (olhando os dados originais ou já ordenados):
19: ocorre 1 vez.
20: 1 vez.
21: 1 vez.
22: 2 vezes.
23: 1 vez.
25: 1 vez.
30: 1 vez.
35: 2 vezes.
Os valores com maior frequência são 22 e 35, cada um ocorrendo 2 vezes. Portanto há duas modas: 22 e 35 (é uma distribuição bimodal).
Interpretação breve: ter duas modas significa que há dois valores que aparecem mais frequentemente; ambas são medidas válidas de tendência central, mas não reduzem os dados a um único ponto.
Passo 6
Discussão sobre qual medida representa melhor o “centro” aqui e limitações (didática e encorajamento).
Todas as três medidas foram encontradas: média, mediana e moda(s).
Comparação: \text{média}=25{,}2é, \text{mediana}=22{,}5, \text{moda}=22 e 35.
A média foi puxada um pouco para cima em comparação à mediana devido à presença dos dois valores maiores 35. Se houvesse um valor muito extremo (outlier), a média seria ainda mais afetada.
A mediana (22{,}5) reflete o ponto médio da amostra e é robusta a oscilação nos extremos.
A presença de duas modas indica que há dois custos que aparecem mais frequentemente entre as faculdades amostradas: 22 e 35.
Conclusão prática: se for desejável uma medida resistente a variações e outliers, a mediana é preferível; se se quer uma média geral considerando todos os valores, usar a média; se se quer saber os valores mais típicos, olhar para as modas. Você está indo bem — escolhendo qual usar depende do que você precisa comunicar sobre os custos por aluno.