Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Educação: O custo da educação por aluno (em milhares de dólares) em uma amostra de 10 faculdades de arte.
\begin{array}{llllllllll} 30 & 35 & 19 & 22 & 22 & 20 & 23 & 21 & 35 & 25 \end{array}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (custos por aluno, em milhares de dólares): 30,\;35,\;19,\;22,\;22,\;20,\;23,\;21,\;35,\;25.
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • O enunciado pede:
    1. Encontrar a média (valor médio) dos dados.
    2. Encontrar a mediana (valor que divide os dados ao meio).
    3. Encontrar a moda (valor(s) mais frequente(s)).
  • Observação: se alguma medida não puder ser encontrada ou não representar bem o centro dos dados, explicar o porquê.

Passo 2

Definição e cálculo da média aritmética (explicação didática).
  • O que é a média aritmética? É a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Serve para dar uma ideia do “centro” dos dados considerando todos os valores.
  • Fórmula: \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde x_i são os valores amostrados e n é o número de observações.
  • Aqui n=10 e os x_i são os 10 valores dados. Vou somar os valores passo a passo (cada operação em TeX):
19+20=39,
39+21=60,
60+22=82,
82+22=104,
104+23=127,
127+25=152,
152+30=182,
182+35=217,
217+35=252.
Portanto a soma total é \sum_{i=1}^{10} x_i=252.

Passo 3

Calcular a média com a soma encontrada.
  • Aplicando a fórmula:
\overline{x}=\frac{252}{10}=25{,}2.
  • Interpretação breve: a média é 25{,}2 (milhares de dólares por aluno). A média usa todos os dados, então é sensível a valores extremos (outliers).

Passo 4

Definição e cálculo da mediana (explicação didática).
  • O que é a mediana? É o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados. Para n ímpar é o valor central; para n par é a média aritmética dos dois valores centrais.
  • Passo 1 para a mediana: ordenar os dados em ordem crescente. Os dados ordenados são:
19,\;20,\;21,\;22,\;22,\;23,\;25,\;30,\;35,\;35.
  • Como n=10 é par, os índices centrais são o 5^\text{o} e o 6^\text{o} valores (na ordenação). Aqui:
\text{5º valor}=22,\qquad \text{6º valor}=23.ºº
  • A mediana é a média desses dois valores:
\text{Mediana}=\frac{22+23}{2}=\frac{45}{2}=22{,}5.
  • Interpretação breve: a mediana é 22{,}5 (milhares de dólares). Ela não é afetada por valores extremos tanto quanto a média.

Passo 5

Definição e cálculo da moda (explicação didática).
  • O que é a moda? É o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência na amostra. Pode não existir (se todos aparecem uma vez), pode ser única (unimodal), dupla (bimodal) ou multimodal.
  • Contagem das frequências (olhando os dados originais ou já ordenados):
    • 19: ocorre 1 vez.
    • 20: 1 vez.
    • 21: 1 vez.
    • 22: 2 vezes.
    • 23: 1 vez.
    • 25: 1 vez.
    • 30: 1 vez.
    • 35: 2 vezes.
  • Os valores com maior frequência são 22 e 35, cada um ocorrendo 2 vezes. Portanto há duas modas: 22 e 35 (é uma distribuição bimodal).
  • Interpretação breve: ter duas modas significa que há dois valores que aparecem mais frequentemente; ambas são medidas válidas de tendência central, mas não reduzem os dados a um único ponto.

Passo 6

Discussão sobre qual medida representa melhor o “centro” aqui e limitações (didática e encorajamento).
  • Todas as três medidas foram encontradas: média, mediana e moda(s).
  • Comparação: \text{média}=25{,}2é, \text{mediana}=22{,}5, \text{moda}=22 e 35.
    • A média foi puxada um pouco para cima em comparação à mediana devido à presença dos dois valores maiores 35. Se houvesse um valor muito extremo (outlier), a média seria ainda mais afetada.
    • A mediana ( 22{,}5) reflete o ponto médio da amostra e é robusta a oscilação nos extremos.
    • A presença de duas modas indica que há dois custos que aparecem mais frequentemente entre as faculdades amostradas: 22 e 35.
  • Conclusão prática: se for desejável uma medida resistente a variações e outliers, a mediana é preferível; se se quer uma média geral considerando todos os valores, usar a média; se se quer saber os valores mais típicos, olhar para as modas. Você está indo bem — escolhendo qual usar depende do que você precisa comunicar sobre os custos por aluno.

Resposta

Média: 25{,}2
Mediana: 22{,}5
Moda: 22 e 35

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