Encontre a carga em um circuito em série L-R-C no instante t=0,01 segundo quando L=5 enry, R=2 ohms, C=0,01 farad, E(t)=0 volt, q(0)=5 coulombs e i(0)=0 ampère. Determine o primeiro instante no qual a carga do capacitor é zero.

Passo 1

O enunciado pede a carga q(t) num circuito série L\!-\!R\!-\!C sem fonte ( E(t)=0) com
L=5\\ \mathrm{H},\quad R=2\\ \Omega,\quad C=0{,}01\\ \mathrm{F},
e condições iniciais
q(0)=5\\ \mathrm{C},\quad i(0)=q'(0)=0\\ \mathrm{A}.
O modelo é a EDO linear homogênea de 2º ordem
L\,q''+R\,q'+\frac{1}{C}\,q=0.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão, dividimos tudo por L=5:
q''+\frac{R}{L}\,q'+\frac{1}{L\,C}\,q=0 \quad\Longrightarrow\quad q''+0{,}4\,q'+20\,q=0.

Passo 3

A equação característica é
r^2+0{,}4\,r+20=0.
O discriminante é \Delta=0{,}4^2-4\cdot20=-79{,}84<0, logo raízes complexas
r=-\frac{0{,}4}{2}\pm i\sqrt{20-\Bigl(\tfrac{0.4}{2}\Bigr)^2} =-0{,}2\pm i\,\omega,
com
\omega=\sqrt{20-0{,}2^2}=\sqrt{19{,}96}\approx4{,}469.

Passo 4

Daí a solução geral é
q(t)=e^{-0.2\,t}\bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\bigr).
Em t=0:
q(0)=A=5.
Como i(0)=q'(0)=0, calculamos q'(t) e avaliamos em t=0:
q'(t)=e^{-0.2t}\bigl[-0.2(A\cos\omega t+B\sin\omega t) +(-A\,\omega\sin\omega t+B\,\omega\cos\omega t)\bigr],
q'(0)=-0.2A+B\,\omega=0 \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{0.2A}{\omega}=\frac{0.2\cdot5}{4.469}\approx0.2237.

Passo 5

Logo
q(t)=e^{-0.2t}\Bigl(5\cos(4.469\,t)+0.2237\sin(4.469\,t)\Bigr).
Para t=0{,}01 s, calculamos aproximando:
q(0{,}01)\approx e^{-0{,}002}\bigl(5\cos0{,}04469+0.2237\sin0{,}04469\bigr) \approx4{,}995\\ \mathrm{C}.

Passo 6

O primeiro t>0 tal que q(t)=0 vem de
5\cos(\omega t)+0.2237\sin(\omega t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tan(\omega t)=-\frac{5}{0.2237}\approx-22{,}36.
O menor \omega t>0 satisfaz
\omega t=\pi-\arctan(22{,}36)\approx1{,}6157,
logo
t_1=\frac{1{,}6157}{\omega}\approx\frac{1{,}6157}{4{,}469}\approx0{,}362\\ \mathrm{s}.

Resposta

q(0{,}01)\approx 4,995 C
t_1\approx 0,362 s

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